Sıra teorisi

Sıra teorisi, ikili bağıntıları kullanma sırasının sezgisel kavramını inceleyen bir matematik dalıdır. "Bu, şundan daha küçüktür" veya "bu, şundan daha öncedir" gibi durumları inceler.

Örneksel yaklaşım değiştir

Bir küme ve o küme üzerinde aşağıda tarif edilecek olan ikili bir bağıntıyı içeren aksiyomatik sistemlere denir. Bilinen sıralama $\leq$ bağıntısının soyutlanmasıyla elde edilirler. Kümemize X, bağıntımıza R adını verecek olursak, aşağıdaki aksiyomların sağlandığını varsayarız.

X kümesinin her a elemanı için R(a,a) bağıntısı sağlanmalıdır. ( $a\leq a$ şeklinde düşünülebilir, yansıma özelliği olarak bilinir.)
X kümesinin herhangi iki a ve b elemanı için R(a, b) ve R(b,a) bağıntıları sağlanıyorsa, $a=b$ olmalıdır. (hem $a\leq b$ hem de $b\leq a$ sağlanıyorsa a=b dir diye düşünülebilir, antisimetrik olma özelliği olarak bilinir.)
X kümesinin herhangi üç a, b ve c elemanı için hem R(a, b) hem de R(b,c) bağıntıları sağlanıyorsa, o zaman R(a,c) bağıntısı da sağlanmalıdır. (hem $a\leq b$ hem de $b\leq c$ ise $a\leq c$ de olmalıdır diye de düşünülebilir, geçişkenlik özelliği olarak bilinir)

Sıralamalara örnekler değiştir

(Doğal sayılar, $\leq$ bağıntısı) -- (Rasyonel sayılar, $\leq$ bağıntısı) -- (Reel sayılar, $\leq$ bağıntısı) -- (Kümeler Uzayı*, $\subset$ bağıntısı)

$*$ Teknik olarak bir küme değildir. Ancak bu sorun yaratmaz.

Sıralama çeşitleri değiştir

Eğer elimizdeki sıralama nesnesi, yukardaki aksiyomlara ek başka varsayımlar sağlamıyorsa elimizdeki sıralamaya "kısmi sıralama" denir. Yani her sıralama bir kısmi sıralamadır.
Eğer yukardaki aksiyomlara ek olarak X ten seçeceğimiz herhangi iki elemanı karşılaştırabiliyorsak (yani R(a, b) ve R(b,a) bağıntılarından biri mutlaka doğru olmak zorundaysa) o zaman elimizdeki sıralamaya doğrusal sıralama denir. Yukardaki örneklerden (Doğal Sayılar, $\leq$ ), (Rasyonel Sayılar, $\leq$ ) ve (Reel Sayılar, $\leq$ ) aynı zamanda doğrusal sıralamalara da örneklerken, (Kümeler Uzayı, $\subset$ bağıntısı), doğrusal olmayan kısmi bir sıralamadır. Nedeni herhangi iki kümeyi $\subset$ bağıntısına göre karşılaştırmanın mümkün olmamasıdır. Yani biri diğerini içermeyen iki kümenin varlığıdır.
Son olarak, doğrusal sıralama şartlarını sağlayan (X, R) sıralamalarından, "X in her alt kümesinin bir en küçük eleman içermesi şartı"nı sağlayanlara iyi-sıralama denir. Yukarıdaki örneklerden reel sayılar ve doğal sayılar iyi-sıralama iken, rasyonel sayılar iyi sıralama değildir. Örnek olarak "karekök ikiden büyük rasyonel sayılar" kümesinin en küçük bir elemanı olmaması verilebilir.

Sıralamaların önemi değiştir

Her sıralama nesnesi bir topolojik uzay yapısına sahiptir. Bu yapının açık kümelerinin temeli "öyle x elemanları ki $a\leq x\leq b$ " şeklinde ifade edilebilen kümelerden oluşur, a veya b az önceki formülde gözükmüyor da olabilirler.
Zorn'un Lemması, sayesinde kısmi sıralamalar matematiğin pek çok alanında uygulama bulmuşlardır. Mesela halka'larda maksimal ideallerin varlığı Zorn'un Lemması ve ideallarin $\subset$ bağıntısına göre kısmi bir sıralama oluşturduğu gerçeği kullanılarak ispatlanır.
Reel sayılar kümesinin rasyonel sayılar kümesini kullanılarak oluşturulmasının bir temeli de Alman matematikçi Richard Dedekind tarafından verilmiştir. Dedekind'in yöntemi rasyonel sayılar kümesinin bir iyi-sıralama haline getirilmesine dayanır. Diğer yöntem ise "bütünleme"dir.
İyi sıralamar matematikte nispeten nadir gözlenen, çok güçlü özellikler içeren objelerdir. Bu ilke ve kümeler teorisi arasındaki ilişki hakkında bilgi için ayrica İyi-sıralılık ilkesi Makalesi'ne bakabilirsiniz.