Kullanıcı:Özkan Gökdere/Lorentz Dönüşümleri

Lorentz Dönüşümlerinin bir görseli (canlandırma). Sadece bir uzak koordinatı göz önünde tutulur. Dik kesişen ince kesiksiz çizgiler gözlemcinin kendi gözlem çerçevesindeki zaman ve konum koordinatlarını tanımlar. Eğri kesiksiz çizgiler bu gözlemci çerçevesine göre hareket eden gözlemcinin koordinat gridleridir.

Fizikte Lorentz dönüşümleri Özel Görelilik Kuramına göre iki gözlemcinin değişken uzay ve zaman ölçümlerini birbirlerinin referans çerçevelerine nasıl dönüştürebileceğini tanımlar. Adını Hollandalı fizikçi Hendrik Lorentz’ten alır. Bu dönüşümler, farklı hızlarda hareket eden iki gözlemcinin farklı uzaklıklar, farklı süreler hatta olayların sıralamasında farklılıklar gözlemleyebileceğini söyler.

Lorent dönüşümleri, başlangıçta; ışık hızının bağımsız referans çerçevelerinde nasıl gözlemlendiğini açıklamak için ve elektromanyetik yasalarının simetrilerini anlamak için Lorentz’in ve diğerlerinin yaptığı çalışmalar sonuçu ortaya çıkmıştır. Sonra Albert Einstein, dönüşümleri özel görelilik kuramının postülalarından tekrar türetmiştir. Lorentz dönüşümleri, mutlak uzay ve zamanı kabul eden Newton fiziğinindeki Galilie dönüşümlerinin yerini almıştır. Özel Göreliliğe göre, sadece göreli hızın ışık hızından çok küçük olduğu takdirde Galilie Dönüşümleri iyi bir yaklaşımdır.

Eğer uzay türdeş ise Lorentz dönüşümleri doğrusal dönüşümdür. Ayrıca, göreliliğin varsaydığı ışık hızının bütün gözlemciler için aynılığına göre Minkowski uzayındaki iki olay arasındaki uzayzaman aralığı korunmalıdır. Lorentz koordinat sistemi dönüşümleri sıfır noktasının dönüşümler altında sabit kaldığı uzayzaman olaylarının dönüşümlerini tanımlar, dolayısıyla bu dönüşümler Minkowski uzayının hiperbolik rotasyonu olarak düşünülebilir. Ötelemeyi de içeren dönüşümlerin daha genel kümesi Poincaré Grubu olarak bilinir.

Tarih

George FitzGerald, Joseph Larmor, Hendrik Lorentz ve Woldemar Voigt’in de içinde bulunduğu birçok fizikçi 1887’den beri denklemlerin arkasındaki fiziği tartışmışlardır. Larmor ve Lorentz - ışıldayan eter varsayımına inanmışlardır – eterden haraketli bir gözlemci çerçevesine dönüştürüldüğünde değişmeyen Maxwell denklemlerinin dönüşümlerini arıyorlardı. 1889’un başlarında, Oliver Heaviside Maxwell’in denklemlerinden yükün küresel dağılımıyla çevrelenmiş elektrik alanın, yük etere göre bir hareket halinde olduğunda küresek simetriye sahip olmaması gerektiğini gösterdi. FitzGerald, Heaviside’ın bozuk sonucunun moleküllerarası kuvvetler kuramına uygulanabileceğini sandı. Birkaç ay sonra FitzGerald bu sanısını Science Dergisinde 1887’deki Michelson ve Morley’in eter rüzgarı deneyinin şaşırtıcı sonucunu açıklamak için yayınladı. Bu fikir birkaç yıl boyunca Lorentz ve Larmor tarafından genişletildi ve Michelson Morley deneyinin beklenmeyen sonucunun FitzGerald-Lorentz Açıklaması olarak bilindi. Önceden Lodge, Lorentz, Larmor ve FitzGerald’ın yazıları üzerinden biliniyordu. Açıklama 1905 öncesinde yaygın olarak biliniyordu. Larmor o can alıcı zaman genleşmesi özelliğini ilk defa kendi denklenlerinden anlaşılmasıyla onurlandırılmıştır.

1905’te, Henri Poincaré dönüşümün matematiksel grup özelliklerine sahip olduğunu ilk farkeden oldu. Sonra aynı senede Einstein Özel Görelilik İlkesinin varsayılmarından ve hareketsiz gözlemci çerçevelerinde ışık hızının sabit olduğundan yola çıkarak Lorentz dönüşümünü türetti. Elde ettiği sonuçlar Larmor’un (1897) ve Lorentz’in (1899, 1904) elde ettikleriyle gösterim olarak farklı ancak cebirsel olarak eşitti.

Paul Langevin 1911’de dönüşümler hakkında şöyle dedi:

"Bir gözlemci çerçevesinden bir diğerine geçildiğinde aynı formu mümkün kılan ve elektromanyetiğin temel denklemlerine uyan bir grup dönüşümü görmesi H. A. Lorentz’in büyük bir erdemidir. Bu yeni dönüşüm uzay ve zamanın dönüşümleri için en engin çıkarımlara sahiptir."

Standart yapılanmadaki çerçeveler için Lorentz dönüşümü

Koordinat sistemlerinin Lorentz Dönüşümü için standart yapılanması

Herbiri uzay ve zaman aralıklarını ölçmek için kendi Kartezyen koordinat sistemini kullanan O ve O’ olarak iki gözlemci olsun. O, (t, x, y, z) koordinatlarını; O’ (t’, x’, y’, z’) koordinatlarını kullansın. Varsayalımki x ekseni ve x’ ekseni çakışık, y ekseni y’ eksenine paralel ve z ekseni z’ eksenine paralel olacak şekilde koordinat sistemleri yönlendirilmiş olsun. İki gözlemcinin arasındaki göreli hız v olsun ve x ekseni yönünde olsun. Ayrıca t=t’=0 anında sıfır noktalarının aynı yerde olduğunu varsayalım. Bütün varsayımlar tuttuğunda bu koordinat sistemleri standart yapılanmada denir. İleriye Lorentz dönüşümü ve geriye Lorentz dönüşümü arasındaki simetrik görteriş koordinat sistemleri simetrik yapılandırmadaysa yapılabilir. Simetrik biçim bütün fiziksel yasaların Lorentz dönüşümleri altından değişmeden kalması gerektiğini vurgular.

Standart yapılanmadaki gözlemci çerçeveleri için Lorentz dönüşümü şu şekilde gösterilebilir:

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$

öyleki;

$\ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

$\ \gamma$, Lorentz çarpanı olarak adlandırılır.

Her gözlemci tarafından kendi eylemsiz gözlemci çerçevelerinde ölçülmüş bir parçacığın standart yapılanmadaki uzayzaman koordinatları. Üstteki: kırmızı çerçeve F', siyah çerçeve Fye göre +x yönünde v hızıyla gitmektedir. Fdeki gözlemci parçacığın yerini ( ya da uzayzaman koordinatındaki herhangi bir olayı) F koordinat sistemine göre ölçer. Alttaki: siyah çerçeve F, kırmızı çerçeve F' e göre –x yönünde v hızıyla gitmektedir. Fdeki gözlemci parçacığın yerini (ya da bir olayı) F koordinat sistemine göre ölçer. Şekildeki açıkca farklı durumlar arasındaki simetriye dikkat edin.

Tezlilik

Lorentz Dönüşümleri, tezlilik, $\scriptstyle {\boldsymbol {\phi }}$ (hiperbolik açının bir örneği) parametresi tanımlarayarak başka yararlı bir biçime çevirilebilir:

$e^{\phi }=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}},$

öyleki

$e^{-\phi }=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}.$

Aynı zamanda aşağıdaki ifadeyle de eşdeğerdir:

$\phi =\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,$

Dolayısıyla standart yapılanmadaki Lorentz dönüşümü:

${\begin{aligned}ct-x=e^{-\phi }(ct'-x')\\ct+x=e^{\phi }(ct'+x')\\y=y'\\z=z'.\end{aligned}}$

şeklinde olur.

Hiperbolik trigonometrik ifadeler

${e^{\boldsymbol {\phi }}}$ ve ${e^{-{\boldsymbol {\phi }}}}$ için yukarıda verilen ifadelerden yola çıkarak:

$\gamma =\cosh \phi ={e^{\phi }+e^{-\phi } \over 2},$

$\beta \gamma =\sinh \phi ={e^{\phi }-e^{-\phi } \over 2},$

öyleyse

$\beta =\tanh \phi ={e^{\phi }-e^{-\phi } \over e^{\phi }+e^{-\phi }}.$

ifadelerini türetebiliriz.

Koordinatların hiperbolik rotasyonu

Bu ifadeleri dönüşümün matris biçimine yerleştirdiğimizde aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

${\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\ .$

Bu nedenle, Lorentz dönüşümü Minkowski uzayında koordinatların hiperbolik rotasyonu olarak görülebilir. Bu durumda $\phi$ parametresi rotasyonun hiperbolik açısını ifade eder. Genellikle tezlilik olarak ifade edilir. Bu dönüşüm bazen bir Minkowski çizgesiyle tasvir edilir.