Kök testi

Matematikte kök testi bir sonsuz serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Özellikle kuvvet serileriyle bağlantılı olarak yararlıdır.

Kök testi için karar akış diyagramı

TestDüzenle

Kök testi ilk defa Cauchy tarafından geliştirilmiştir ve bu yüzden bazen Cauchy kök testi veya Cauchy radikal testi olarak da anılır. Kök testi

 

sayısını kullanır. Burada "lim sup", ∞ da olabilen üst (superior) limittir.

Kök testi şunu ifade etmektedir.

  • C < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır,
  • C > 1 ise, seri ıraksaktır.
  • C = 1 ise, test sonuçsuzdur.

Kuvvet serilerine uygulanmasıDüzenle

Bu test, cn katsayılarının ve p merkezinin karmaşık sayı olduğu, z 'nin karmaşık değişken olduğu bir

 

kuvvet serisiyle kullanılabilir.

O zaman serinin terimleri an = cn(z - p)n ile verilir. O zaman kök testi an 'ye yukarıdaki gibi uygulanır. Bazen bu gibi bir seriye "p etrafındaki" kuvvet serisi adı verilir çünkü yakınsaklık yarıçapı R serinin iç bölgesindeki her z noktasında yakınsak olduğu en geniş p merkezli aralık veya diskin yarıçapıdır (aralığın veya diskin sınırı üzerindeki yakınsaklık ayrıca bakılmalıdır). Kök testinin böyle bir kuvvet serisine uygulanan bir sonucu ise yakınsaklık yarıçapının kesinlikle   olmasıdır. Burada, payda sıfır olurken yarıçapın +∞ olduğuna dikkat edilmelidir.

İspatDüzenle

Σan serisinin yakınsaklığının kanıtı aslında karşılaştırma testinin bir uygulamasıdır. Her nN (n sabit bir doğal sayı) için   ise, o zaman   olur.   geometrik serisi yakınsadığı için o zaman karşılaştırma testiyle   de yakınsar. Pozitif olmayan an için yakınsaklık da   kullanılarak aynı yolla kanıtlanır.

Sonsuz tane n için   ise, o zaman an 0'a yakınsamaz ve bu yüzden seri ıraksak olur.

Sonucun kanıtı: Σan = Σcn(z - p)n kuvvet serisi için, serinin yakınsak olması için şunun olması gerektiğini görüyoruz:

Her nN için

 

ifadesine denk olarak

 

ifadesini sağlayan bir N vardır. Bu da serinin yakınsaması için yeteri kadar büyük n 'ler için   olmasını gerektirmektedir. Bu da

 

demeye denktir. Böylece

  olur. Şimdi yakınsaklığın mümkün olduğu tek yer,

 

olduğu zamandır (1'den büyük noktalarda ıraksaklık vardır) ve bu da yakınsaklık yarıçapını değiştirmeyecektir çünkü bunlar da aralığın veya diskin sınırının üzerinde yer alan noktalardır. Böylece

 

olur.

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle

  • Knopp, Konrad (1956), "3.2", Infinite Sequences and Series, Dover publications, Inc., New York, ISBN 0-486-60153-6 
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963), "2.35", A Course in Modern Analysis (4 bas.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3 

Bu makale PlanetMath'deki Cauchy kök testinin kanıtı maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.