Hesaplamalı elektromanyetizma

Hesaplamalı elektromanyetik, hesaplamalı elektrodinamik veya elektromanyetik modelleme elektromanyetik alan ile fiziksel nesnelerin ve çevrenin etkileşimini modelleme işlemidir.

Hesaplamalı elektromanyetik genel olarak Maxwell eşitliklerine hesaplanabilir yeterlilikte yaklaşımları içerir ve anten performansı, elektromanyetik uygunluk, radar kesit alanı ve serbest uzayda olmayan elektromanyetik dalga yayılmasını hesaplamada kullanılır.

Hesaplı elektromanyetiğin belirli bir kısmı elektromanyetik radyasyon dağınık ve küçük parçacıklar tarafından emilenler ile ilgilenir.

Arka plan

Elektromanyetik saçılım, elektromanyetik radyasyon, dalga yapısı modellemesi gibi bazı elektromanyetik problemler mevcut cihazlardaki düzensiz biçimlerin çokluğundan dolayı analitik olarak hesaplanamaz. Hesaplamalı sayısal teknikler Maxwell eşitliklerinden değişen temel içerik ve sınır şartlarına rağmen kapalı çözüm formları türetebilmiştir. Bu durum hesaplamalı elektromanyetiği (CEM) diğer uygulamalar arasında anten, radar, uydu ve diğer iletişim sistemlerinin dizayn ve modellemesinde, nanofotonik aletler ve yüksek hız silikon elektroniğinde, medikal görüntüleme ve cep telefonu anten dizaynında önemli yapar.

CEM genel olarak problem bölgesi boyunca E (Elektrik) ve H (Manyetik) alan hesaplama problemini çözer (örneğin bir antenin anten radyasyon yapısını hesaplamada). Buna ek olarak güç akış yönü (Poynting vektörü), bir dalganın normal modu, dalga yayılımı ve saçılım E ve H alanlarından hesaplanabilir. CEM modelleri simetrik olsa da olmasa da, gerçek dünya yapılarını ideal silindir, küre veya diğer sıradan geometrik objeler gibi ele alarak basitleştirir. CEM modelleri simetriyi kapsamlı olarak kullanır ve 3 boyutu 2D hatta 1Dye indirerek çözüm yapar.

Hesaplamalı elektromanyetiğin bir eigen value problem formülizasyonu bir yapıdaki sabit durum normal modunu hesaplamamızı sağlar. Belirli bir zaman aralığında geçici yanıt ve itme alanı etkileri CEM ile daha hatasız modellenmiştir. Eğik objeler daha ölçülebilir birimler olarak ele alınır. Elektron demeti propagasyonu dalgalardaki güç akışı için çözüm yapabilir. CEM değişik tekniklerin aynı alanda ve güç dağılımında bir araya geldiği özel bir uygulamadır

Metotlara genel bakış

Bir yaklaşım uzayı ızgaralar şeklinde birimlere ayırmaya (dikey ya da dikey olmayan) ve alanın içindeki her noktada Maxwell eşitliklerini çözmeye yöneliktir. Ayırma işlemi bilgisayarların hafızasını tüketir ve denklemleri çözmek büyük zaman alır. Büyük ölçekli CEM problemleri hafıza ve CPU sınırlamalarıyla karşı karşıyadır. CEM problemleri süper bilgisayarlar, yüksek performanslı depolayıcılar, vektör işlemcileri ve paralel hesaplama gerektirir. Tipik formülizasyonlar ya toplam zamanı bölerek tüm zaman dilimlerinde hesaplamalar yapar ya da ölçülebilir birim metoduyla modellendiğinde gruplanmış matris dönüşümleri üzerinden ana fonksiyonu çözmeyi içerir; veya matris transfer metodu sonucu oluşan matris ürünlerini; veya moment metoduyla integral hesaplamalarını ve adımlara bölme metodunu kullanırken zaman yinelemelerini kullanır.

Metotların seçimi

Problemin çözümü için doğru tekniği seçmek yanlış bir seçimin doğru olmayan ya da hesaplaması çok fazla zaman alan sonuçlara ulaşacak olmasından dolayı önemlidir. Öte yandan, bir tekniğin adı her zaman nasıl uygulanacağını belirtmez, özellikle birden fazla çözeni olan ticari araçlarda.

Davidson FEM, MoM ve FDTD tekniklerini uygulanma yöntemleri bakımından karşılaştıran 2 tablo verir. Bir tablo 2 açık alan (radyasyon ve saçılım) diğeri ise güdülmüş dalga problemleri içindir.

Hiperbolik PDE formunda Maxwell eşitlikleri

Maxwell eşitlikleri hiperbolik sistemler veya kısmi türevsel eşitliklikler olarak formülize edilebilir. Bu sayısal sonuçlara ulaşmada güçlü tekniklere erişim sağlar.

Dalgaların (x-y) düzleminde yayıldığı ve manyetik alanın yönünün z eksenine paralel kaldığı ve bu sayede elektrik alanın (x-y) düzlemine paralel olduğu varsayılır. Bu dalgaya enine manyetik dalga denir. 2 boyutta ve polarizasyon terimlerinin olmadığı bir durumda Maxwell eşitlikleri şu şekilde gösterilebilir:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {u}}+A{\frac {\partial }{\partial x}}{\bar {u}}+B{\frac {\partial }{\partial y}}{\bar {u}}+C{\bar {u}}={\bar {g}}$

u, A, B ve C şu şekilde tanımlanmıştır:

${\bar {u}}=\left({\begin{matrix}E_{x}\\E_{y}\\H_{z}\end{matrix}}\right),$

$A=\left({\begin{matrix}0&0&0\\0&0&{\frac {1}{\epsilon }}\\0&{\frac {1}{\mu }}&0\end{matrix}}\right),$

$B=\left({\begin{matrix}0&0&{\frac {-1}{\epsilon }}\\0&0&0\\{\frac {-1}{\mu }}&0&0\end{matrix}}\right),$

$C=\left({\begin{matrix}{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0&0\\0&{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0\\0&0&0\end{matrix}}\right).$

Bu gösterimde ‘g’ güç uygulayan fonksiyondur ve ‘u’ ile aynı boyuttadır. Aşağıda gösterildiği gibi dıştan uygulanan bir alanı göstermek veya bir optimizasyon sınırlaması tanımlamak için kullanılabilir:

${\bar {g}}=\left({\begin{matrix}E_{x,constraint}\\E_{y,constraint}\\H_{z,constraint}\end{matrix}}\right).$

Bundan başka ‘g’ genelde karışık olmayan bir çözüm bulmayı amaçlayan bir metodun ilk adımı olan bazı problemleri basitleştirmek veya karakteristik bir çözüm bulmak için sıfıra eşitlenebilir.

İntegral eşitliği çözenler

Süreksiz dipol yaklaşımı (DDA)

Süreksiz dipol yaklaşımı saçılım ve herhangi geometrik şekli olan bir hedefin soğurmasını hesaplamak için kullanılan esnek bir tekniktir. Formülizasyon Maxwell eşitliklerinin integral formuna dayanır. DDA yaklaşımı kutuplaşabilir noktaların belirli aralıklarının devamlı bir hedefidir. Noktalar bölgesel elektrik alana yanıt olarak dipol momentler oluşturur. Dipoller elektrik alanları sayesinde birbirleriyle etkileşime girer, bu yüzden DDA bazen çiftleşmiş dipol yaklaşımı olarak adlandırılır. Eşitliklerin doğrusal sistemleri genelde birleşik gradient vektörlerinin tekrarlarıyla çözümlenir. Bu işlem sırasında süreksiz matrisin sahip olduğu simetri Hızlı Fourier Dönüşümüne olanak sağlar ve matris ile vektörün çarpılabilir.

Moment metodu (MoM) veya sınır birim metodu (BEM)

Moment metodu (MoM) veya sınır birim metodu(BEM) integral eşitlikleriyle gösterilen doğrusal kısmi diferansiyel eşitliklerinin sayısal hesabında kullanılan bir metottur. Akışkan mekaniği, akustik, elektromanyetizma, kırılma mekaniği, plastiklik gibi mühendislik ve bilimi ilgilendiren birçok alanda uygulanabilir.

MoM 1980’lerden itibaren daha popüler olmuştur. Çünkü tüm değerler yerine yalnızca sınır değerleri hesaplamayı gerektirir, küçük yüzey/hacim oranlı problemler için gereken hesaplanabilir kaynaklar açısından oldukça fazla kullanışlıdır. Kavramsal olarak, modellenen yüzeyin etrafında bir örgü oluşturarak çalışır. Fakat, birkaç problemden ötürü, sınır birim metotları hacim-ayırma metotlarından (ölçülebilir birim metodu, ölçülebilir fark metodu, ölçülebilir hacim methodu) hesaplama açısından daha az kullanışlıdır. Sınır birimleri formülleri tipik olarak tamamen kalabalıklaşmış matrislerin oluşmasına yol açar. Bu da depolama gereksinimleri ve hesaplama zamanının problem büyüklüğünün karesine bağlı artışa geçmesi demektir. Aksine, ölçülebilir birim matrisleri (birimler yalnızca lokal olarak bağlıdır) tipik olarak dizilmiştir ve sistem gereksinimleri problem büyüklüğüyle doğru orantılı olarak artar. Sıkıştırma teknikleri eklenen karmaşıklık ve problemin geometri ve doğasına bağlı olan başarı oranı sorunlarını onarmak için kullanılabilir.

BEM Green fonksiyonlarının hesaplanabildiği problemlerde uygulanabilir. Bunlar genelde doğrusal homojen içerikteki alanları içerir.Bu yerler problemlerin genelinde sınır birimleri için oldukça uygundur. Genelde çözümden önce hacimin ayrılmasını gerektiren hacim integrallerini belirtse de doğrusal olmama durumları BEM in oft- cited)avantajını ortadan kaldırarak formülizasyonda yer bulabilir.

Hızlı çok kutup metodu (FMM)

Hızlı çok kutup metodu MoM veya Ewald toplamına bir alternatiftir. Hatasız bir simülasyon tekniğidir ve MoM a göre daha az hafıza ve işlemci gücü gerektirir.İlk olarak Greengard and Rokhlin tarafından bulunmuştur ve çoklu kutup büyümesi tekniğine dayanır. Hesaplamalı elektromanteyikteki ilk uygulaması Engheta et al(1992). FMM MoM yi hızlandırmak için de kullanılabilir.

Kısmi birim eşitliği devresi (PEEC) metodu

Kısmi birim eşitliği devresi methodu elektromanteyik ve devre analzinin kombinasyonuna uygun bir 3-D tam dalga modelleme tekniğidir. MoM un aksine, PEEC direkt akımdan örgü sistemi ile belirlenen maksimum frekansa geçerli bir tam spektrum methodudur. PEEC methodunda, integral eşitliğinin Kirchhoff voltaj kuralı gibi basit PEEC hücresine uygulanması sonucu 3-D şekillerde tüm devrenin hesaplanması sağlanır. Eşit devre formülizasyonu SPICE türünde devre elemanlarının kolayca kullanılmasına izin verir. Dahası, modeller ve analizler hem zaman hem de frekans aralıklarına uygulanabilir. PEEC in devre eşitliği sonuçları modifiye edilmiş bir döngü analizi veya düğüm analizi formülü ile kolayca resmedilebilir. Direkt akım çözümü sağlamasının yanında, her çeşit devre elemanı uygun matrislerle dosdoğru bir şekilde içinde bulunabildiği için bu tarz problemlerde MoM a göre birçok avantajı vardır. PEEC methodu son zamanlarda düzgün olmayan geometriyi de içerecek şekilde genişlemiştir. Klasik formüle bağlı olan bu model genişlemesi daha genel olan dörtgen veya altıgen birimlere ek olarak geometrik şekillerin Manhattan gösterimlerini de içerir. Bu da bilinmeyenleri minimum seviyede tutar ve düzgün olmayan geometriler için hesaplama zamanını azaltır.

Diferansiyel eşitliği çözenler

Zamanda sonlu farklar yöntemi (FDTD)

Ana madde: Zamanda sonlu farklar yöntemi

Zamanda sonlu farklar yöntemi popüler bir CEM tekniğidir. Anlaması kolaydır. Bir tam dalga çözümü için fevkalade basit bir uygulamaya sahiptir. Uygulaması FEM veya MoM tekniklerine göre en az bir derece daha az iş gerektirir. FDTD bir kişinin kabul edilebilir zamanda kendi başına uygulayabildiği yegane methoddur, ama yine de bu çok spesifik bir problem için olacaktır. Bir zaman aralığı methodu olduğundan çözümler zaman aralığını yeterince küçük tutarak Nyquist–Shannon teoremini sağlayarak arzu edilen yüksek frekans için tek bir simülasyonda geniş bir frekans menzilini kapsayabilir.

FDTD alan bazlı diferansiyel zaman aralığı sayısal modelleme sınıfında yer alır. Maxwell eşitlikleri (kısmi türev formunda) ayrılmış ve yazılımda uygulanmış merkez-fark eşitliklerine dönüştürülmüştür. Denklemler döngüsel yöntemle çözülür: elektrik alan verilen anlık bir zamanda, manyetik alan da ondan sonraki zamanda çözülür ve işlem sürekli tekrar edilir.

Temel FDTD 1966 yılında “IEEE Anten ve Propagasyon İşlemleri”nden Kane Yee’den kalıntı bir belgeye işaret eder. Belirli fark zaman aralığı tanımını Allen Taflove yaratmıştır ve ‘FDTD’ kısaltması da 1980 IEEE Elektromanyetik Uygunluk İşlemleri belgesinde görülmüştür. 1990'lardan bu yana, elektromanyeik dalgaların madde yapılarıyla etkileşimlerini konu alan bilimsel ve mühendislikle ilgili problemlerde başlıca yöntem olarak ortaya çıkmıştır. Zaman aralığı ölçülebilir hacim ayırma prosedürüne dayalı etkili bir teknik 1991 de Mohamedian tarafından ileri sürülmüştür. Şu anki FDTD modelleme işlemleri yakın direkt akımdan (ultra düşük frekans, jeofizik, iyonosfer dalga yapısı) mikrodalgalara (radar imza teknolojisi, antenler, kablosuz iletişim cihazları, dijital bağlantılar, biyomedikal görüntüleme/tedavi) ve görülebilir ışığa (fotonik kristaller, nanoplazmolikler, solitonlar ve biofotonik) kadar uzanan kadar geniş bir menzile sahiptir. Yaklaşık 30 ticari ve üniversiteler tarafından geliştirilmiş yazılım grubu mevcuttur.

Çoklu çözünürlük zaman aralığı (MRTD)

MRTD FDTD metoduna alternatif olarak uyarlanan ve dalgacık analizlerine dayanan bir metottur

Sonlu elemanlar yöntemi (FEM)

Ana madde: Sonlu elemanlar yöntemi

Sonlu elemanlar yöntemi kısmi türev ve integral problemlerine takribi bir çözüm bulmak için kullanılır. Çözüm yaklaşımı ya zaman türevlerini tamamen elemeye ya da(sabit durum problemleri) kısmi türevi ona eşdeğer ve basit tekniklerle çözülebilen sıradan bir türev haline getirmeye dayalıdır.

Kısmi türev denklemlerini çözerken, ilk iş eşitliği çalışılabilir hale getiren ve sayısal olarak tutarlı yani girilen bilgi ve aradaki işlemlerdeki hataların çıkan sonucu değiştirip ya da yok etmeyeceği yeni bir eşitlik yaratmaktır. Bunu yapmanın çeşitli avantaj ve dezavantajlarla birçok yolu vardır. Ölçülebilir Element Metodu karmaşık aralıklarda veya arzu edilen kesinlik tüm aralık boyunca değişirse kısmi türev eşitliklerini çözmek için iyi bir seçenektir.

Sonlu integral tekniği (FIT)

Sonlu integral tekniği elektrik alan problemlerini zaman ve frekans aralığında sayısal olarak çözmek için bir uzaysal ayırma planıdır. Yükün ve enerjinin korunumu gibi sürekli eşitliklerin temel topolojik özelliklerini muhafaza eder. FIT 1977’de Thomas Weiland tarafından önerilmiş ve ilerleyen yıllarda sürekli geliştirilmiştir. Bu method elektromanyetiğin (statikten yüksek frekansa) ve optik uygulamaları bütün alanını kapsar ve ticari simülasyon araçlarının temelidir.

Bu yaklaşımdaki temel fikir Maxwell eşitliklerini integral formunda kademeli alanlarda uygulamaktır. Bu method geometrik modellemedeki yüksek esneklik ve sınır yönetimi kadar istenen materyallerin birleşmesi ve anizotropi, doğrusal olmama ve dağılım gibi materyal özelliklerinden dolayı göze çarpar. Dahası, sağlam bir ikili dikey levha ile doğrudan ilişkili zaman integral şeması kullanımı (örneğin kurbağa zıplaması şeması) özellikle süreksiz radyo frekans alanlarına uyarlanmış işlemlerde hesaplama ve hafıza-yeterli algoritma sağlar.

Hayali izgesel zaman aralığı (PSTD)

Maxwell eşitliklerinin zamandan ilerleyen bu sınıfındaki hesaplama teknikleri, hem Fourier tekniğini hem Chebyshev dönüşümlerini hem 2 D hem 3 D olarak düzenlenmiş elektrik ve manyetik alan vektör bileşenlerinin uzaysal türevlerini hesaplamak için kullanılır.PSTD, FDTD ile ilgili sayısal hız anizotropi hatalarını ihmal edilebilir kılar ve bu sayede çok daha büyük elektriksel ölçekte problemlerin modellenmesini sağlar.

Hayali izgesel uzaysal aralık(PSSD)

PSSD Maxwell eşitliklerini seçilmiş bir uzaysal yönde yayarak çözer. Bu sayede alanlar zamana bağlı fonksiyonlar olarak değerlendirilir ve (muhtemelen) tüm çaprazlama uzaysal boyutlarda. Method hayali izgeseldir çünkü zamana bağlı integraller FFT’lerin yardımında bir frekans aralığında hesaplanır. Alanlar zamana bağlı fonksiyonlar olarak ele alındığından, yayılmadaki seçilmiş bir bölümü minimum çabayla hızlıca ve hatasız modellemeye olanak sağlar. Buna rağmen, uzayda ileri yönde yayılmayı seçmek (zaman yerine) bazı inceliklerini beraberinde getirir, bilhassa yansımaların önemli olduğu durumlarda.

İletim hattı matrisi (TLM)

İletim hattı matrisi, öbeklenmiş birimlerin direkt kurulumlarıyla bir devre çözücü(SPICE HSPICE) tarafından çözülebilecek olarak, birimler arasında yapılmış bir ağ olarak veya saçılım matrisi yaklaşımıyla formülize edilebilir. TLM FDTD’ye benzer özellikleriyle çok esnek bir veri analiz stratejisidir, yine de FDTD sistemleriyle daha fazla kod çözülmeye elverişlidir.

Bölgesel tek boyutlu FDTD (LOD-FDTD)

Bu üstü kapalı bir metottur. Bu metotta, 2 boyutlu durumda, Maxwell eşitlikleri 2 adımda hesaplanır, oysa 3 boyutlu durumda 3 uzaysal koordinat yönüne bölünür. LOD-FDTD methodunun 3 boyutta denge ve dağılım analizleri detaylı tartışılmıştır.

Diğer metodlar

Eigenmode genişlemesi (EME)

Eigenmode genişlemesi elektromanyetik alanların temel bölgesel eigenmode lara bölünmesine dayanan tutarlı bir 2 boyutlu elektromanyetik yayılma simülasyon tekniğidir. Eigenmodelar her bölgedeki enine kesitlerde Maxwell eşitliklerinin çözülmesiyle bulunur. Eigenmode genişlemesi Maxwell eşitliklerini 2 D ve 3 D de çözebilir ve mod çözücülerin vektörel olduğu tümüyle vektörel bir çözüm sağlar. Optik dalga yapısı modellemelerinde FDTD ye göre çok daha güçlü faydalar sağlar, fiberoptik ve silikon fotonik aletlerde popüler bir araçtır.

Fiziksel optik (PO)

Fiziksel optik yüksek frekans(düşük dalga boyu) yaklaşımının elektrik mühendisliği ve uygulamalı fizikte, optik içerisinde kullanılan adıdır. Dalga etkilerini yok sayan geometrik optik ve kesin bir teori olan tam dalga elektromanyetiği arasında bir metottur. ‘Fiziksel’ kelimesi geometrikten çok fiziksel bir teori olup yine de tam bir fiziksel teori olmadığını ifade eder.

Bu yaklaşım ışın optiğini kullanarak bir yüzeydeki alanı hesaplayıp daha sonra alan boyunca integral alarak ne kadar alana iletilmiş veya saçılmış olduğunu hesaplamaktan ibarettir. Bu problem detaylarının karışık olmasından Born yaklaşımına benzer.

Resmi kırınım teorisi (UTD)

Resmi kırınım teorisi elektriksel küçük süreksizlikler veya bir noktada birden fazla boyuttaki süreksizliklerden gelen elektromanyetik saçılım problemlerini çözmek için uygulanan bir yüksek frekans metodudur.

Resmi kırınım teorisi yakın elektromanyetik alanları yarı optik olarak ele alır ve her kırınım yapan obje-kaynak kombinasyonu için kırınım katsayılarını belirlemede ışın kırınımı kullanır. Bu katsayılar sonradan kırılma noktasından her yöne doğru alan gücünü ve fazını hesaplamak için kullanılır. Daha sonra bu alanlar gelen ve yansıyan alanlarla toplanarak genel bir çözüm elde edilir.

Onaylama

Onaylama elektromanyetik simülasyon kullanıcılarının karşılaştığı temel meselelerdendir. Kullanıcı simülasyonunun onay aralığını anlamalı ve iyi hakim olmalıdır. Burada ölçüt gerçeklerle çıkan sonucun ne kadar mesafeli olduğudur.

Bu sorunun cevabı 3 adımdan oluşur:

• Simülasyon sonuçlarıyla analitik formüllerin karşılaştırılması- örneğin bir plakanın radar enine kesitini analitik formül ile belirlemek:

${\text{RCS}}_{\text{Plate}}={\frac {4\pi A^{2}}{\lambda ^{2}}},$

A: Yüzey alanı: Dalga boyu

•  Kodlar arasında enine karşılaştırma- örneğin moment metodu (MoM) ile asimptotik metodun kabul edilen aralıklarında enine karşılaştırması.
  
•  Simülasyon sonuçlarının ölçümlerle karşılaştırılması-son onaylanma adımı ölçümler   simülasyon arasında karşılaştırma yapmaktır.

Onaylama işlemleri açıkça gösterir ki bazı farklar deneysel kurulum ve deneyin simülasyon olarak yeniden yapılmasından kaynaklanan farklar olarak açıklanabilir.

Ayrıca bakınız

• Elektromanyetizma
• Elektromanyetik dalga denklemi
• Sonlu elemanlar yöntemi

Konuyla ilgili yayınlar

• Detailed and highly visual lecture notes and videos on Computational Electromagnetics2 Mart 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• R. F. Harrington (1993). Field Computation by Moment Methods. Wiley-IEEE Press. ISBN 0-7803-1014-4. 
• W. C. Chew, J.-M. Jin, E. Michielssen, and J. Song (2001). Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics. Artech House Publishers. ISBN 1-58053-152-0. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link) CS1 maint: Multiple names: authors list (link)
• J. Jin (2002). The Finite Element Method in Electromagnetics, 2nd. ed. Wiley-IEEE Press. ISBN 0-471-43818-9. 
• Allen Taflove and Susan C. Hagness (2005). Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed. Artech House Publishers. ISBN 1-58053-832-0. 

Dış bağlantılar

• Graduate Course on Computational Electromagnetics2 Mart 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• The Applied Computational Electromagnetics Society Website 6 Mayıs 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• The Center for Computational Electromagnetics and Electromagnetics Laboratory 25 Mayıs 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Computational Electromagnetics at Bilkent University
• Computational electromagnetics: a review 15 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Electromagnetic Modeling web site at Clemson University (includes list of currently available software)

Işık saçılması kodları

Elektromanyetik saçılma problemlerinin çözümü için birçok verimli kodlar şimdi vardır. Onlar ayrık dipol yaklaşım kodları, silindir elektromanyetik saçılma için kodlar, küre elektromanyetik saçılma için kodları olarak listelenmiştir. Böyle küre veya silindir tarafından saçılma için Mie çözüm olarak analitik olan çözümler, daha karmaşık teknikler doğrulamak için kullanılabilir.

Software

• Açık Dizin Projesi Hesaplamalı Elektromanyetik