Ana menüyü aç

Genelleştirilmiş f ortalaması

(Genelleştirilmiş f-ortalaması sayfasından yönlendirildi)

Matematik ve istatistik bilim dallarında genelleştirilmiş f-ortalaması merkezsel konum ölçülerinden olan değişik ortalamalar için tek bir genel fonksiyon ve formül bulma ve kullanma çabaları sonucu ortaya çıkarılmıştır. Benzer çabalar biraz değişik diğer bir genelleştirilmiş ortalama formülünü vermiştir.[1]. Bu nedenle isim karışıklığını önlemek için f-ortalaması çeşitli diğer isimlerde de anılmaktadır. Bazen yarı-aritmetik ortalama adı kullanılmaktadır. Bu kavramı ve formülü ilk geliştiren Rus matematikçisi A.Kolmogorov adına atfen de bazen Kolmogorov ortalaması olarak isimlendirilmektedir.[2]

TanımlamaDüzenle

Eğer f, reel doğrunun bağlanmış altseti olan  yi reel sayılara tasarımlayan bir fonksiyon ise ve hem sürekli hem de enjektif ise, o halde şu iki sayı olan   için f-ortalaması şöyle tanımlanır:

 

  büyüklükteki bir veri dizisi

 ,

olur ve f-ortalaması

 

ifadesi ile verilir.

Ters fonksiyon olan   mevcut olması için fnin enjektif olması gerekir. Fonksiyonun sürekli olması için

 

ifadesinin   sahasında bulunmalıdır. Böylece enjektif ve sürekli olması sağlanan f kesinlikle monotonik fonksiyon olur ve bunun için   içinde ne bu grubun içindeki en büyük sayıdan daha büyük ne de grubun en küçük sayısından daha küçük olabilir.

ÖzelliklerDüzenle

  • Bölüntülenme: f-ortalama hesaplanırken, veriler birbirine eşit alt-bloklara bölüntülenebilip genel sonuca etki yapmadan hesaplar ayrı ayrı alt-bloklara uygulanabilir:
 
  • Elemanların çarpma özelliği korunursa, genel f-ortalamayı etkilemeden her altset için ayrı ortalama önceden hesaplanabilir.
  ile şu ifade gerçek olabilir
 
  • Genelleştirilmiş f-ortalamasi   de kaymalar ve yeniden ölçeklenmelerden etkilenmez; yani
 .
  • Eğer   monotonik ise, o halde  de monotoniktir.

İlişkilerDüzenle

  • Eğer   reel doğruya (yahut  nin sıfır olmadığı herhangi bir doğrusal fonksiyon  a) tasarımlanırsa ve  , ise f-ortalaması aritmetik ortalama olur.
  • Eğer   pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve  , ise f-ortalaması geometrik ortalama olur. f-ortalaması özelliklere uygun olarak bu sonuç eğer pozitif ise ve 1 değilse, dayandığı logaritma bazının ne olduğunun hiç önemi bulunmamaktadır.
  • Eğer   pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve  , ise f-ortalaması harmonik ortalama olur.
  • Eğer   pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve  , ise f-ortalaması   üslü güç ortalaması olur.

HomojenlikDüzenle

Ortalama için kullançılan fonksiyonlar ok kere homojendirler. Ancak f-ortalaması için   fonksiyonlarının çoğu homojen değildir. Homojenlik özelliği girdi veri değerlerini özel bir homojen ortalama   ile normalize ederek yani

 

sağlanabilir. Ancak bu değişme bazı f-ortalamaları için monotonluk ve bölüntülenme özelliklerin ortadan kaldırabilir.

İçsel kaynaklarDüzenle

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Bibby,J.(1974) "Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences," Glasgow Mathematical Journal, C. 15, say. 63–65
  2. ^ Kolmogorov,A. (1930) Mathematics and mechanics, Moskova say.136-138. (Rusça)