Genelleştirilmiş Pareto dağılımı ailesi, olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında geliştirilen ve özellikle iktisat incelemelerinde gelir ve servet dağılımı analizi için kullanılan iki parametreli Pareto dağılımının daha geliştirilmiş üç parametreli bir şekli olur. Bu dağılım da sürekli olasılık dağılımıdır
Genelleştirilmiş Pareto
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler
μ
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,}
konum (reel )
σ
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle \sigma \in (0,\infty )\,}
olcek (reel)
ξ
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )\,}
sekil (reel)
Destek
x
⩾
μ
(
ξ
⩾
0
)
{\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)}
μ
⩽
x
⩽
μ
−
σ
/
ξ
(
ξ
<
0
)
{\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)}
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)
1
σ
(
1
+
ξ
z
)
−
(
1
/
ξ
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}
burada
z
=
x
−
μ
σ
{\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
1
−
(
1
+
ξ
z
)
−
1
/
ξ
{\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,}
Ortalama
μ
+
σ
1
−
ξ
(
ξ
<
1
)
{\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)}
Medyan
μ
+
σ
(
2
ξ
−
1
)
ξ
{\displaystyle \mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}}
Mod
Varyans
σ
2
(
1
−
ξ
)
2
(
1
−
2
ξ
)
(
ξ
<
1
/
2
)
{\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)}
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)
Karakteristik fonksiyon
Genelleştirilmiş Pareto dağılımı bir dağılım ailesi olup üç tane parametre ile tanımlanmaktadır: Bunlar konum parametresi :
μ
,
{\displaystyle \mu ,}
ölçek parametresi :
σ
{\displaystyle \sigma \,}
şekil parametresi :
ξ
{\displaystyle \xi \,}
x
⩾
μ
{\displaystyle x\geqslant \mu }
x
⩽
μ
−
σ
/
ξ
{\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi }
yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:
F
(
ξ
,
μ
,
σ
)
(
x
)
=
1
−
(
1
+
ξ
(
x
−
μ
)
σ
)
−
1
/
ξ
{\displaystyle F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }}
Burada
μ
∈
R
{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0\,}
ξ
∈
R
{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }
şekil parametresi ni
κ
=
−
ξ
{\displaystyle \kappa =-\xi \,}
Olasılık yoğunluk fonksiyonu şudur:
f
(
ξ
,
μ
,
σ
)
(
x
)
=
1
σ
(
1
+
ξ
(
x
−
μ
)
σ
)
(
−
1
ξ
−
1
)
.
{\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}.}
Bu yine
x
⩾
μ
{\displaystyle x\geqslant \mu }
x
⩽
μ
−
σ
/
ξ
{\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi }
ξ
<
0
{\displaystyle \xi <0\,}
değiştir
Genellestirilmiş Pareto dağılımı gösteren bir rastgele sayısı veri serisini simulasyon sonucu ortaya çıkartmak için yine kompüter istatistik paketleri şu anda doğrudan doğruya kullanılamamaktadır. (0, 1] aralıı içinde bulunan bir sürekli tekdüze dağılım gösteren bir U değişebiliri bulunur ve şu fonksiyona konulup
X
=
μ
+
σ
(
U
−
ξ
−
1
)
ξ
∼
GPD
(
μ
,
σ
,
ξ
)
.
{\displaystyle X=\mu +{\frac {\sigma (U^{-\xi }-1)}{\xi }}\sim {\mbox{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi ).}
X değişebiliri için genelleştirilmiş Pareto dağılımı gösteren rastgele veri serisi elde edilir.
