Bottema teoremi

Bottema teoremi, Hollandalı matematikçi Oene Bottema (Groningen, 1901–1992) tarafından matematik literatürüne kazandırılmış olan düzlem geometride bir teoremdir.

Bottema'nın teoremi şu şekildedir: ${\textstyle ABC}$, ${\textstyle C}$ noktasının değişken olduğu bir üçgen olsun. Kareler ${\textstyle AC}$ ve ${\textstyle BC}$'ye dışa doğru iliştirilirse, bu karelerin ${\textstyle C}$'nin zıt noktalarının segmentinin orta noktası ${\textstyle M}$, sabit bir nokta olacaktır. Özellikle bu, ${\textstyle AB}$'ye içe doğru iliştirilmiş karenin orta noktasıdır.

Teoremin Açıklaması

Teorem şu şekilde ifade edilebilir; verilen herhangi bir ${\textstyle ABC}$ üçgeninde, herhangi iki bitişik kenarda, ${\textstyle AC}$ ve ${\textstyle BC}$, kareler oluşturulsun. Üçgenin iki kenarının ortak tepe noktası olan ${\textstyle C}$’nin karşısındaki karelerin köşelerini birbirine bağlayan doğru parçasının orta noktası, ${\textstyle C}$'nin konumundan bağımsızdır.

Teorem, kareler aşağıdaki yollardan biriyle oluşturulduğunda doğrudur:

• Şekle bakarak, sol alt köşe ${\textstyle A}$'dan başlayarak, üçgen köşelerini saat yönünde takip edin ve üçgenin kenarlarının solundaki kareleri oluşturun.
• Üçgeni aynı şekilde takip edin ve üçgenin kenarlarının sağındaki kareleri oluşturun.

Teoremin İspatı

Teoremin üçgende benzerlikler kullanılarak ispatı.

Benzerlikleri kullanarak ispat

• ${\textstyle {\frac {AH}{AG}}={\frac {BI}{BD}}=\alpha }$ olsun.
• ${\textstyle AB}$ doğru parçası üzerine ${\textstyle HL}$, ${\textstyle CX}$, ${\textstyle JK}$ ve ${\textstyle IM}$ diklerini indirelim.
• ${\textstyle JK}$, ${\textstyle HLMI}$ yamuğunun orta tabanıdır, bu nedenle;

${\textstyle JK={\frac {(HL+IM)}{2}}}$'dir.

• Ayrıca, ${\textstyle \angle HAC}$ dik olduğundan ${\textstyle \angle HAL}$ ve ${\textstyle \angle CAX}$ tümler açılardır ve bu da ${\textstyle \triangle HAL}$ ve ${\textstyle \triangle ACX}$ dik üçgenlerini benzer yapar.
• Benzerlikten faydalanarak;

${\textstyle HL=\alpha AX}$ ve ${\textstyle IM=\alpha BX}$ yazılabilir.

• Bu üç özdeşliği de dikkate alarak aşağıdaki eşitlik elde edilebilir:

${\textstyle JK={\frac {(HL+IM)}{2}}={\frac {\alpha }{2}}(AX+BX)={\frac {\alpha }{2}}AB=\alpha AK}$

Buradan da ${\textstyle C}$'den bağımsız olduğu görülür.

• ${\textstyle \triangle HAL\sim ACX}$ ve ${\textstyle \triangle IBM\sim \triangle BCX}$ olduğundan;

${\textstyle AL=CX=BM}$ yazılabilir.

• Orta taban (midline) teoremine göre ${\textstyle LK=KM}$'dir.
• Bu nedenle, ${\textstyle AK=(LK-AL)=(KM-BM)=KB}$'dir.

Bu, ${\textstyle J}$'nin sabit olduğunu, çünkü ${\textstyle AB}$ doğru parçasının orta noktasının "üstünde" sabit bir mesafede olduğunu gösterir.

Vektörler yoluyla ispat

• Orijinal şekli kullanalım ve ${\textstyle O}$, ${\textstyle AB}$'nin orta noktası olsun.
• ${\textstyle {\overrightarrow {OB}}=a{\hat {i}}}$ olsun. Buna göre ${\textstyle {\overrightarrow {OA}}=-a{\hat {i}}}$ olur.
• ${\textstyle {\overrightarrow {OC}}=b{\hat {i}}+c{\hat {j}}}$ olsun.
• Bu nedenle; ${\textstyle {\overrightarrow {AC}}=(a+b){\hat {i}}+c{\hat {j}}}$ ve ${\textstyle {\overrightarrow {BC}}=(-a+b){\hat {i}}+c{\hat {j}}}$'dir.
• Buradan kolayca, ${\textstyle {\overrightarrow {AE}}=-c{\hat {i}}+(a+b){\hat {j}}}$ ve ${\textstyle {\overrightarrow {BD}}=c{\hat {i}}+(a-b){\hat {j}}}$ olduğunu gösterebiliriz.
• ${\textstyle {\frac {AF}{AE}}={\frac {BG}{BD}}=k}$ olsun.
• ${\textstyle {\overrightarrow {AF}}=-kc{\hat {i}}+k(a+b){\hat {j}}}$ ve ${\textstyle {\overrightarrow {BG}}=kc{\hat {i}}+k(a-b){\hat {j}}}$ eşitliklerine sahibiz.
• Sonuç olarak:

${\textstyle {\overrightarrow {OH}}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {OF}}+{\overrightarrow {OG}})}$

${\textstyle ={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AF}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {BG}})}$

${\textstyle ={\frac {1}{2}}(-a{\hat {i}}-kc{\hat {i}}+k(a+b){\hat {j}}+a{\hat {i}}+kc{\hat {i}}+k(a-b){\hat {j}})}$

${\textstyle ={\frac {k}{2}}((a+b)+(a-b)){\hat {j}}}$

${\textstyle =ka{\hat {j}}}$ bulunur.

• Bu da ${\textstyle OH\perp AB}$ ve ${\textstyle OH}$ uzunluğunun sadece ${\textstyle a}$ ve ${\textstyle k}$'ye, yani ${\textstyle AB}$'nin uzunluğuna ve ${\textstyle k}$ oranına bağlı olduğunu, dolayısıyla ${\textstyle H}$'nin yerinin gerçekten sabit olduğunu gösterir.

Konuyla ilgili yayınlar

• Sashalmi, É., & Hoffmann, M. (2004). Generalizations of Bottema’s theorem on pedal points. Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae, 31, Makale, ss. 25-31.
• Zvonko Cerin. (2009). Rings of Squares Around Orthologic Triangles. Makale 14 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., s. 1
• Nguyen Ngoc Giang. (2018). A New Proof and Some Generalizations of the Bottema Theorem. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM), ISSN 2367-7775, Volume 3, 2018, Makale 25 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., ss. 49-54

Dış bağlantılar

• Bottema Teoremi: Nedir? 10 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Wolfram Gösterimleri Projesi - Bottema Teoremi 30 Eylül 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Geogebra - Bottema Teoremi 11 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Dynamic mathematics learning (Java Applet) 11 Şubat 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• GoGeometry - Bottema Teoremi 29 Nisan 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Ayrıca bakınız

• Van Aubel teoremi
• Napoleon teoremi