Alef sayısı

Başlığın diğer anlamları için Alef sayfasına bakınız.

Alef sayıları, matematikte, daha ayrıntılı söylemek gerekirse kümeler teorisinde, iyi sıralı olabilen sonsuz kümelerin kardinalitesini göstermek için kullanılan sayılardır. Alef sayısı ismini sembolünden, İbranice alef harfinden alır. Bazı eski matematik kitaplarında yanlışlıkla alef sembolü ters basılmıştır.

Alef-sıfır, en küçük sonsuz nicel sayı.

Doğal sayılar kümesinin kardinalitesi ℵ₀'dır (alef sıfır diye okunur), ondan sonraki kardinalite ise ℵ₁ yani alef 1'dir, ondan sonra ℵ₂ ve bu şekilde devam eder. Bu şekilde devam edilerek her a ordinal sayısı için bir ℵ_a kardinal sayısı bulmak mümkündür.

Fikir ve notasyon Georg Cantor'a aittir, kendisi sonsuz kümelerin değişik kardinalitelere sahip olabileceğini keşfetmiştir.

Alef sayıları genellikle cebir ve kalkülüste bulunan sonsuzluktan (∞) farklıdır. Alefler kümelerin büyüklüklerini ölçer, sonsuzluk ise genellikle fonksiyonlarda ve serilerde "sonsuza yaklaşır" denildiğinde reel sayılar doğrusunun sınırı olarak, genişletilmiş reel sayılar doğrusunda ise uç nokta olarak ifade edilir.

Alef sıfır

Alef sıfır doğal sayılar kümesinin kardinalitesidir (büyüklüğü). Alef sıfır en küçük sonsuz sayıdır. Sonsuz kardinal sayılar dizisinin ilk üyesidir. ℵ₀ sembolü ile gösterilir.

ℵ₀ doğal sayılar kümesinin kardinalitesidir ve sonsuz bir kardinaldir. Bütün ordinallerin kümesinin kardinalitesi de ki buna ω veya ω₀ denir, (burada ω Yunan alfabesinden küçük omega harfidir) ℵ₀'dır. Bir kümenin kardinalitesi ancak ve ancak sayılabilir sonsuzlukta ise ℵ₀'dır, bu da küme ile doğal sayılar kümesi arasında bir birebir örten fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu kümelere örnek olarak şunlar verilebilir:

• Tüm tam kare sayıların kümesi, tüm kübik sayıların kümesi, tüm dördün kuvvetlerinin kümesi, ...
• Tüm mükemmel kuvvetli sayıların kümesi, tüm asal kuvvetli sayıların kümesi,
• Tüm çift sayıların kümesi, tüm tek sayıların kümesi,
• Tüm asal sayıların kümesi, tüm asal olmayan sayıların kümesi,
• Tüm tam sayıların kümesi,
• Tüm rasyonel sayıların kümesi,
• Tüm inşa edilebilen sayıların kümesi,
• Tüm cebirsel sayıların kümesi,
• Tüm tanımlanabilir sayıların kümesi,
• Tüm sınırlı bir uzunluğa sahip ikili dizilerin kümesi ve
• Bir sınırsız kümeye ait tüm sınırlı alt kümelerin kümesi.

ω,ω+1,ω*2,ω²,ω^ω gibi sonsuz ordinaller de sayılabilir sonsuzlukta kümelerle çalışır. Örneğin, ordinalitesi 2ω olan ve bütün pozitif tek sayılardan sonra bütün pozitif çift sayıların gelmesiyle oluşan

{1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10...}

kümesi kardinalitesi ℵ₀ olan doğal sayılar kümesinin bir dizilişidir.

Alef bir

Alef bir, doğal sayılar kümesinin kuvvet kümesi'nin (doğal sayılar kümesinin elemanları ile oluşturulabilecek tüm kümelerin kümesi) kardinalitesidir (büyüklüğü).

ℵ₁ bütün sayılabilen ordinal sayıların kümesinin kardinalitesidir ve sayılamaz sonsuzluktadır. Bu yüzden ℵ₁, ℵ₀'dan farklıdır. ℵ₁'in tanımına göre (Zermelo-Frankel küme teorisine göre, seçim aksiyomu olmadan dikkate alınırsa), ℵ₀ ile ℵ₁ arasında hiçbir kardinal sayı yoktur. Seçim aksiyomu kullanılırsa, ℵ₁ in en küçük ikinci sonsuz kardinal sayı olduğu kanısına ulaşılabilir.

Süreklilik hipotezi

Reel sayılar kümesinin kardinalitesi (sürekliliğin kardinalitesi) $2^{\aleph _{0}}$ dir. Alef sayıların arasında bu sayının hangi aralıkta olduğu ZFC (seçim aksiyomu olmadan Zermelo-Frankel küme teorisi) kullanılarak belirlenemez. Fakat ZFC kullanılarak süreklilik hipotezinin şu eşitlik anlamına geldiği bulunabilir:

$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$

Süreklilik hipotezine göre tam sayılar kümesinin kardinalitesi ile reel sayılar kümesinin kardinalitesi arasında kardinalite yoktur. Süreklilik hipotezi ZFC'den bağımsızdır: aksiyom sistemine bakılarak ne doğruluğu ispatlanabilir ne de yanlışlığı ispatlanabilir.