Pisagor teoremi: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
k ‘ dz |
Ekleme |
||
1. satır:
[[Dosya:Pythagorean.svg|küçükresim|260px|'''Pisagor teoremi'''<br>Bacaklar (a ve b) iki karenin alanlarının toplamı, karenin hipotenüs (c) üzerindeki alanına eşittir]]
{{geometri}}
'''Pisagor teoremi''' ({{dil|el|Πυθαγόρειο θεώρημα}}) veya '''Pisagor bağıntısı''', [[Öklid geometrisi]]nde üçgenin kenarları arasındaki temel ilişkiyi kuran ilk teoremlerden biridir. Teoreme gerçek hayattan örnek olarak [[telli çalgılar]]ı gösterebiliriz; 'telin uzunluğu arttıkça titreşim artar' prensibine dayanır. '''Pisagor'un denklemi''' olarak da isimlendirilen bu teorem, ''a, b'' ve ''c'' kenarlarının arasındaki ilişki şu şeklide açıklar:<ref name="Sally0">{{kitap kaynağı |başlık=Roots to research: a vertical development of mathematical problems |yazar1=Judith D. Sally |yazar2=Paul Sally |sayfa=63 |kısım=Chapter 3: Pythagorean triples |url=https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA63 |isbn=0-8218-4403-2 |yıl=2007 |yayıncı=American Mathematical Society Bookstore}}</ref>
:<math>a^2 + b^2 = c^2 ,</math>
11. satır:
==Yeniden düzenleme ispatı==
[[Dosya:Pythagoras-proof-anim.svg|küçükresim|Yeniden düzenleme ispatı (animasyonu görüntülemek için tıklayın)]]
Şekilde gösterilen iki büyük karenin her biri dört özdeş üçgen içerir ve iki büyük kare arasındaki tek fark, üçgenlerin farklı şekilde konumlandırılmasıdır. Bu nedenle, iki büyük karenin her birinin içindeki beyaz boşluk eşit alana sahip olmalıdır. Beyaz boşluğun alanını eşitlemek Pisagor teoremini verir, [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]<ref>Benson, Donald. ''[https://books.google.com/books?id=8_vbuzxrpfIC&pg=PA172 The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies]'', pp. 172–173 (Oxford University Press, 1999).</ref>
Heath, [[Öklid'in Elementler'i]]'ndeki ''Önerme I.47'' üzerine yaptığı yorumda bu kanıtı verir ve Bretschneider ve Hankel'in, Pisagor'un bu ispatı biliyor olabileceğine dair önerilerinden bahseder. Heath, Pisagor teoreminin ispatı için farklı bir öneriyi
==Teoremin diğer biçimleri==
Eğer ''c'' [[hipotenüs]] uzunluğunu, ''a'' ve ''b'' diğer iki tarafın uzunluğunu gösteriyorsa pisagor teoremi, cebirsel olarak şöyle ifade edilir:
:<math>a^2 + b^2 = c^2 .</math>
27. satır:
Pisagor denklemi, dik üçgenin kenarlarını basit bir şekilde ilişkilendirir. Böylece herhangi bir iki tarafın uzunluğu biliniyorsa üçüncü tarafın uzunluğu bulunabilir. Teoremin başka bir sonucu, herhangi bir dik üçgende hipotenüsün diğer taraflardan herhangi birinden daha büyük, ancak toplamlarından daha az olmasıdır.
Bu teoremin genelleştirilmesi, diğer iki tarafın uzunlukları ve aralarındaki açı göz önüne alındığında, herhangi bir üçgenin herhangi bir tarafının uzunluğunun hesaplanmasını sağlayan kosinüs yasasıdır. Diğer taraflar arasındaki açı dikaçı ise, kosinüs yasası Pisagor denklemine indirgenir. Matematikte Pisagor teoremi, [[Öklid geometrisi]]nde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski matematiksel [[teorem]]lerden biridir. Teorem sonradan MÖ 6. yüzyılda [[Yunanlar|Yunan]] filozof ve matematikçi [[Pisagor]]'a atfen isimlendirilmiş ise de, [[Hindu]], Yunan, [[Çinliler|Çinli]] ve [[Babil]]li matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler. Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı [[Elementler Öklid|Öklid'in Elementler]] eserinde bulunabilir.
==Teoremin diğer ispatları==
Bu teoremin, diğer birçok teoremden daha fazla ispatı olabilir (ikinci dereceden karşılıklılık yasası, bu ayrım için başka bir rakiptir); sadece ''The Pythagorean Proposition'' kitabı 370 ispat içeriyor.<ref>{{Harv|Loomis|1968}}</ref>
===Üçkende benzerliği kullanarak ispat===
{{Ayrıca bakınız|Benzerlik (geometri)|label 1=Benzerlik}}
[[Dosya:Pythagoras similar triangles simplified.svg|250px|küçükresim|Benzer üçgenleri kullanarak ispat]]
Bu [[Matematiksel ispat|ispat]], benzer iki [[üçgen]]in kenar oranlarına, yani benzer üçgenlere karşılık gelen herhangi iki [[Kenar (geometri)|kenar]]ın birbirine oranına, üçkenlerin boyutuna bakılmaksızın aynı olmasına dayanmaktadır.
''ABC'', şekilde gösterildiği gibi ''C''{{'}}ye uzanan dik açılı bir [[dik üçgen]]i temsil etsin. [[Yükseklik (üçgen)|Yüksekliği]], ''C'' noktasından olsun ve ''H'' ile, ''AB'' doğrusu üzerinde kesişsin. ''H'', hipotenüs ''c''{{'}}nin uzunluğunu ''d'' ve ''e''{{'}}ye bölsün. Yeni ''ACH'' üçgeni, ''ABC'' üçgeni ile benzer olsun, çünkü her ikisi de bir dik açıya sahip (yükseklik tanımına göre) ve açıyı ''A''{{'}}da paylaşsınlar (bu, üçüncü açı ''θ''{{'}}nın her iki üçgende de aynı olacağı anlamına gelir). Üçgenlerin benzerliğinin ispatı, üçgen varsayımını gerektirir: "Bir üçgendeki açıların toplamı iki dik açıya eşit ve [[paralel]] postülata eşdeğerdir" varsayımla eşdeğerdir. Üçgenlerin benzerliği, karşılık gelen tarafların oranlarının eşitliğine yol açar:
:<math> \frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC} \text{ and } \frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}.</math>
İlk sonuç ''θ'' açısının kosinüslerine eşittir, ikinci sonuç ise sinüslerine eşittir.
:<math>BC^2 = AB \times BH</math>{{nbsp|2}}ve{{nbsp|2}}<math>AC^2=AB \times AH. </math>
Bu iki eşitliğin toplanması,
:<math>BC^2+AC^2=AB\times BH+AB\times AH=AB\times(AH+BH)=AB^2 ,</math>
birkaç basitleştirmeden sonra, Pisagor teoremini şöyle ifade eder:
:<math>BC^2+AC^2=AB^2 \ .</math>
==Sayısal örnekler==
| |||