Ters trigonometrik fonksiyonlar: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Benevolent (mesaj | katkılar) Yeni sayfa: Matematikte '''ters trigonometrik fonksiyonlar''', tanım kümesinde bulunan trigonometrik fonksiyonların ters fonksiyonudur. arcsin, arccos, arctan sırasıyla si... |
Benevolent (mesaj | katkılar) Değişiklik özeti yok |
||
178. satır:
Alternatif olarak bu şöyle de ifade edilebilir;
:<math>\arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\left(2n+1\right)!} \; \frac{z^{\,2n+1}}{\left(1+z^2\right)^{n+1}}</math>
==Logaritmik biçimler==
Bu logaritmik biçimler [[karmaşık düzlem]]de bulunur.
:<math>
\begin{align}
\arcsin x &{}= -i\,\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) &{}= \arccsc \frac{1}{x}\\[10pt]
\arccos x &{}= -i\,\ln\left(x+i\,\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}= \arcsec \frac{1}{x}\\[10pt]
\arctan x &{}= \tfrac{1}{2}i\left(\ln\left(1-i\,x\right)-\ln\left(1+i\,x\right)\right) &{}= \arccot \frac{1}{x}\\[10pt]
\arccot x &{}= \tfrac{1}{2}i\left(\ln\left(1-\frac{i}{x}\right)-\ln\left(1+\frac{i}{x}\right)\right) &{}= \arctan \frac{1}{x}\\[10pt]
\arcsec x &{}= -i\,\ln\left(i\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right) = i\,\ln\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right)+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}-\arccsc x &{}= \arccos \frac{1}{x}\\[10pt]
\arccsc x &{}= -i\,\ln\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right) &{}= \arcsin \frac{1}{x}
\end{align}</math>
===Örnek ispat===
:<math>\theta = \arcsin x </math>
:<math>\sin(\theta) = \sin(\arcsin x) </math>
:<math>\sin(\theta) = x </math>
[[Trigonometrik fonksiyonlar#Üstel fonksiyonlar ve karmaşık sayılarla İlişkisi|Sinüsün üstel biçimi]] şöyledir;
:<math>\frac{e^{i\phi} - e^{-i\phi}}{2i} = \sin(\phi) </math>
Böylece ifade şöyle olur:
:<math>\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = x </math>
Burada aşağıdaki gibi bir [[değişken değiştirme]] uygulanırsa;
:<math>k=e^{i\,\theta}. \, </math>
Eşitlik şöyle olur;
:<math>\frac{k-\frac{1}{k}}{2i} = x</math>
:<math>{k-\frac{1}{k}} = 2ix</math>
:<math>{k -2ix -\frac{1}{k}} = 0</math>
:<math>k^2-2\,i\,k\,x-1\,=\,0</math>
:<math>k = ix \pm \sqrt{1-x^2} \, </math>
:<math>e^{i\theta} = ix \pm \sqrt{1-x^2} \, </math>
:<math>i \theta = \ln \left(ix \pm \sqrt{1-x^2}\right) \, </math>
:<math>\theta = -i \ln \left(ix \pm \sqrt{1-x^2}\right) \, </math>
(yukarıdaki eşitliğin pozitif kısmı alınırsa)
:<math>\theta = \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1-x^2}\right) \, </math>
{| style="text-align:center"
|+ '''[[Karmaşık düzlem]]deki ters trigonometrik fonksiyonlar'''
|[[Image:Complex arcsin.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex arccos.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex arctan.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex ArcCot.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex ArcSec.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex ArcCsc.jpg|1000x140px|none]]
|-
|<math>
\arcsin(z)
</math>
|<math>
\arccos(z)
</math>
|<math>
\arctan(z)
</math>
|<math>
\arccot(z)
</math>
|<math>
\arcsec(z)
</math>
|<math>
\arccsc(z)
</math>
|}
==Ayrıca bakınız==
| |||