Özdeğer ayrışımı

Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı[1] ya da eigen ayrışımı,[2] bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

TanımDüzenle

n adet doğrusal olarak bağımsız qi (i = 1, ..., n) özvektörleri olan n × n boyutlu A kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir:

 

Burada Q, i numaralı sütunu A'nın qi özvektörü olan n × n boyutlu kare matristir. Λ ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler (Λii = λi) olan bir köşegen matristir. Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin,   ayrıştırılamaz.

Özvektörler qi genellikle normaldir, ama bazen Q'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş n adet vi özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki Q−1 ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.

Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir:

 

ÖrnekDüzenle

2 × 2 boyutlu A matrisi

 

tekil olmayan B matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

 

Herhangi bir köşegen matrisi   için,   özdeşliği:

 

İki taraf da B ile çarpılırsa:

 

Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır:

 

Özdeğerler x ve y ayrıştırılır:

 

Vektörleri isimlendirirsek:

 

iki vektör denklemi elde ederiz:

 

İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:

 

burada λ iki özdeğeri (x, y), u ise iki vektörü (a, b) içerir.

λu'u sola kaydırıp u'yu ayırırsak:

 

B tekil olmadığı için u sıfırdan büyüktür. Yani,

 

Böylece,

 

A matrisinin özdeğerlerini verir (λ = 1, λ = 3). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi   olur.

Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek

 

ve bu denklemi çözersek:

 

B'yi buluruz

 

ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:

 

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Zhaoyang, Li (2006). Matris Ayrışımı (PDF) (Yüksek lisans). İstanbul: İstanbul Üniversitesi. Erişim tarihi: 26 Şubat 2021. 
  2. ^ Uçkan, Taner; Cengiz Hark; Ebubekir Seyyarer; Ali Karcı (24 Aralık 2019). "Ağırlıklandırılmış Çizgelerde Tf-Idf ve Eigen Ayrışımı Kullanarak Metin Sınıflandırma". Bitlis Eren Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi. 8 (4). ss. 1349-1362. ISSN 2147-3129.