Çarpma kuralı iki veya daha fazla fonksiyonun çarpımının türevinin hesaplanmasında kullanılan bir yöntemdir. Kuralı Gottfried Leibniz türettiği için bu kural Leibniz kuralı olarak da geçer. Kuralın matematiksel ifadesi f ve g sırasıyla f(x) ve g(x) ifadelerinin kapalı formu olmak üzere şöyle verilir:
d
d
x
(
f
g
)
=
(
d
f
d
x
)
g
+
f
(
d
g
d
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(fg)=\left({\frac {df}{dx}}\right)g+f\left({\frac {dg}{dx}}\right)}
Türevin tanımı kullanılarak iki fonksiyonun çarpımının türevine bakılırsa
d
d
x
(
f
g
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
+
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
+
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
=
g
(
x
)
f
′
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\frac {d}{dx}}(fg)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}g(x+h){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)\\\end{alignedat}}}
F fonksiyonu N tane birbirinden farklı ancak aynı değişkene bağlı fonksiyonun çarpımı olsun.
F
(
x
)
=
∏
i
=
1
N
f
i
(
x
)
{\displaystyle F(x)=\prod _{i=1}^{N}f_{i}(x)}
Bu ifadenin türevi yukarıda yapılan ispata dayanılarak şu şekilde gösterilir:
d
F
d
x
=
∑
k
=
1
N
f
k
′
∏
i
≠
k
N
f
i
{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=\sum _{k=1}^{N}f_{k}'\prod _{i\neq k}^{N}f_{i}}
Çarpımın ifadesindeki i , 1 'den N 'ye kadar k hariç her değeri alır.