Ana menüyü aç

Silindirik ve küresel koordinatlarda vektör alanı

Küresel koordinatlar (r, θ, φ) fizikte ortak kullanılır: yarıçap uzunluğu r, kutupsal açı θ (teta), ve azimut açı φ (phi). ρ (rho) sembolü ise r vektörünün xy düzlemindeki izdüşüm vektörüdür.Yaygın kullanım bu şekildedir.

NOT: Bu sayfa küresel koordinatların fizik gösterimi içindir, z ekseni arasındaki açıdır.ve yarıçap vektörü söz konusu noktaya orijinden bağlantılıdır , bu açısı x-y düzlemi ve x ekseni ile vektör yarıçapının izdüşümü arası açıdır. Diğer bazı tanımları da kullanılıyor ve çok dikkatli farklı kaynaklardan karşılaştırarak alınmalıdır.[1]

İçindekiler

Silindirik koordinat sistemiDüzenle

Vektör alanıDüzenle

Vektörler (p,  φ, z) ile silindirik koordinatlarda tanımlanıyor , burada

  • p , xy düzlemine r vektörünün izdüşüm uzunluğu ,
  •  φ pozitif x-ekseninin (0 ≤  φ < 2π) xy-düzlemi (i.e. r)vektör izdüşümünü ile arasındaki açıdır,
  • z bilinen z-koordinatı.

(p, φ, z) kartezyen koordinat'larda şöyle verilir.:

 

veya tersi yoluyla:

 

Herhangi bir vektör alanı birim vektörleri tarafından yazılabilir:

 

Silindirik birim vektörleri ile kartezyen birim vektörleri ilişkilidir:

 

Bir vektör alanının zaman türevleriDüzenle

"vektör alanı A"nın zaman içindeki değişikliklerini bulmak için biz zaman türevlerini hesaplıyoruz.

Bunu desteklemek için zaman türevleri için biz Newton gösterimini kullanıyoruz ( ). Kartezyen koordinatlar içinde bu basitçe:

 

Bununla birlikte silindirik koordinatlar şu alınır:

 

Birim vektörlerin zaman türevlerine ihtiyacımız var.

 

ile verilir. Zaman türevleri basitçe:

 

Bir vektör alanın ikinci kez türeviDüzenle

fizik'te ilginç olan ikinci zaman türevidir, klasik mekanik sistemde hareketin denklemi bulunuyor . Bir vektör alanının silindirik koordinatlarda ikinci zaman türevi şu denklem yoluyla veriliyor:

 

Bu ifadeyi anlamak için, A = P eşitliğine inanıyoruz, burada p, (r, θ, z) vektörüdür.

Bu demektir ki  .

Biz koymak yerine sonra:

 

Mekanikte,bu şekilde ifade açısından:

 

Ayrıca bakınız: merkezcil çekim kuvveti, Açısal hız, Coriolis etkisi.

Küresel koordinat sistemiDüzenle

Vektör alanıDüzenle

(r,θ,φ) ile küresel koordinatlar içinde tanımlanan vektörler

  • r vektörünün boyudur,
  • θ pozitif z-ekseni ve söz konusu vektör arasındaki açı(0 ≤ θ ≤ π)
  • φ vektör ontolojik "X-Y" düzleminin projeksiyonu ve x-ekseni pozitif tarafı arasındaki açıdır(0 ≤ φ < 2π),

(by:

 

tarafından

ya da ters tarafından:

 

Birim vektör yardımıyla herhangi bir vektör alanı yazılabilir:

 

Küresel birim vektör are Kartezyen birim vektörlerle şöyle ilişkilidir:

 

Bir vektör alanın zaman türeviDüzenle

Zaman içinde nasıl vektör alanı bir değişiklik bulmak için biz zaman türevinin hesaplamalıyız Kartezyen koordinatlarda bu basitçe:

 

Ancak, küresel koordinatlarda Bu hale gelir:

 

Bu birim vektörlerin zaman türevleri gerekir. Bunlar tarafından verilmektedir:

 

zamana göre türevleri alınırsa:

 

Ayrıca bakınızDüzenle

kaynakçaDüzenle