Sınır değer problemi

Matematikte sınır değer problemleri, sınır koşulları ile verilen diferansiyel denklemlerdir. Bir sınır değer probleminin çözümü, verilen diferansiyel denklemin uygun sınır koşullarına uyum sağlayan çözümüdür.^[1]

Sınır değer problemlerine fizik ve mühendislikte sıkça karşılaşılır. Bunlara örnek olarak Laplace denklemi kullanılarak elektrik potansiyelinin bulunması, dalga denklemi ile bir sistemin normal modlarının hesaplanması ve ısı denklemi ile bir çubukta ısının dağılımının çözülmesi örnek verilebilir.^[2] Sınır değer problemlerinin büyük çoğunluğu Sturm–Liouville problemi cinsindedir; bu problemlerde diferansiyel operatörünün özdeğerinin incelenmesi gerekir. Sınır değer problemlerinin fiziksel olarak anlamlı olabilmesi için bu problemlerin "iyi tanımlanmış" (well-posed) olması gerekir: iyi tanımlanmış problemlerin bu sınır koşulları için tek bir özgün çözümünün olması ve bu çozümün stabil ve sürekli olması beklenir.^[3]

Sınır değerleri değiştir

Tek boyutlu ısı denklemini şeması

Tek boyutlu ısı denkleminin bir çubuk için çözümü. Bu çözümde Neumann sınır koşulları kullanılmıştır ve başlangıç değerleri olarak çubuğun sol tarafı sıcak ve sağ tarafı soğuk olarak alınmıştır.

Çözülmek istenilen sistemin gerekliliklerine göre farklı sınır koşulları kullanılır. En yaygın sınır koşullarından bazıları Dirichlet ve Neumann sınır koşullarıdır. Dirichlet sınır koşulunda denklemin çözüldüğü sınırlar bir fonksiyon değerlerine eşitlenirken, Neumann'da çözümün türevi eşitlenir.^[2]^[3]

Sınır koşulları, başlangıç koşulları ile karıştırılmamalıdır.

Sıkça kullanılan sınır değerlerinin özeti aşağıdaki tabloda verilmiştir. $y$ bilinmeyen fonksiyona (çözüm), $c_{0}$ ile $c_{1}$ koşulların sabitlerine ve $f$ ile $g$ ise bilinen skalar fonksiyonlara tekabül eder.

İsim	Sınırın 1. kısmı	Sınırın 2. kısmı
Dirichlet	$y=f$
Neumann	${\partial y \over \partial n}=f$
Robin	$c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f$
Karışık	$y=f$	$c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f$
Cauchy	both $y=f$ , and $c_{0}{\partial y \over \partial n}=g$

Ayrıca bakınız değiştir

Kaynakça değiştir

^ Zwillinger, Daniel (2014). Handbook of differential equations (İngilizce). Elsevier Science. s. 536. ISBN 978-1-4832-2096-3.
^ ^a ^b Anar, İbrahim Ethem (2005). Kısmi diferansiyel denklemler. Ankara: Palme. ISBN 975-8982-19-2.
^ ^a ^b Strauss, Walter A. (1992). Partial differential equations: an introduction (İngilizce). New York: Wiley. ISBN 978-0470054567.

[Zwillinger2014-1] Zwillinger, Daniel (2014). Handbook of differential equations (İngilizce). Elsevier Science. s. 536. ISBN 978-1-4832-2096-3.

[kısmi-2] Anar, İbrahim Ethem (2005). Kısmi diferansiyel denklemler. Ankara: Palme. ISBN 975-8982-19-2.

[strauss-3] Strauss, Walter A. (1992). Partial differential equations: an introduction (İngilizce). New York: Wiley. ISBN 978-0470054567.

[1]

[2]

[3]