Log-normal dağılım

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında log-normal dağılım logaritması normal dağılım gösteren herhangi bir rassal değişken için tek-kuyruklu bir olasılık dağılımdır. Eğer Y normal dağılım gösteren bir rassal değişken ise, bu halde X exp(Y) için olasılık dağılımı bir log-normal dağılımdır; aynı şekilde eğer X log-normal dağılım gösterirse o halde log(X) normal dağılım gösterir. Logaritma fonksiyonu için bazın ne olduğu önemli değildir: Herhangi iki pozitif sayı olan ab ≠ 1 için eğer loga(X) normal dağılım gösterirse, logb(X) fonksiyonu da normaldir.

Log-normal
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Lognormal için olasılık yoğunluk fonksiyonu gösterimi
μ=0
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Lognormal için yığmalı yoğunluk fonksiyonu için gösterim
μ=0
Parametreler
Destek
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama
Medyan
Mod
Varyans
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf) (Ham momentler için metine bakin)
Karakteristik fonksiyon


KarakterizasyonDüzenle

Olasılık yoğunluk fonksiyonuDüzenle

Log-normal dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu   için şudur:

 

Burada μ ve σ değişkenin logaritma değerleri için ortalama ve standart sapmasidir. Bu halde parametreler kullanılan logaritma türünde (ya e bazlı, 2 bazlı veya 10 bazlı) birimlerdedir. Ancak radyo komunikasyon incelemelerinde bu parametreler tipik olarak desibel birimleri iledir.

Yığmalı dağılım fonksiyonuDüzenle

Log-normal dağılım için yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

 

MomentlerDüzenle

Bütün momentler şu ifadelerle verilmiştir:

 

Moment üreten fonksyonDüzenle

Log-normal dağılım için moment ureten fonksiyon bulunmamaktadır.

ÖzelliklerDüzenle

Ortalama ve standart sapmaDüzenle

Beklenen değer (ortalama) şudur:

 

Varyans şöyle ifade edilir:

 

ve standart sapma şu olur:

 

Beklenen değer ve varyans verilmiş olduğu halde μ ve σ2 değerlerini elde etmek için kullanılan bağlantılar şöyle ifade edilir:

 
 

Mod ve medyanDüzenle

Bu dağılım için mod şudur:

 

Medyan şudur:

 

Geometrik ortalama ve geometrik standart sapmaDüzenle

Log-normal dağılım için geometrik ortalama   ve geometrik standart sapma   olur.

Eğer bir örneklem veri serisi log-normal dağılım gösteren bir anakütleden gelmişse, geometrik ortalama ve geometrik standart sapma güvenlilik aralık kestirimi elde etmek için kullanılabilir. Bu noramal dağılım gösteren anakütleden gelen örneklem verilerinden aritmetik ortalama ve standart sapma kullanılarak güvenlilik aralığı bulmaya benzemektedir.

Güvenlik aralığı sınırları Log uzayi Geometrik
3σ alt sınır    
2σ alt sınır    
1σ alt sınır    
1σ üst sınır    
2σ üst sınır    
3σ üst sınır    

Burada geometrik ortalama   ve geometrik standart sapma   olur.

MomentlerDüzenle

Bu dağılım için ilk birkaç ham momentler şunlardır:

 
 
 
 
 

Kısmî bekleyişlerDüzenle

Parametrelerin maksimum olabilirlilik kestirimiDüzenle

İlişkili dağılımlarDüzenle

  • Eğer   bir normal dağılım gösterirse, o halde  .
  • Eğer   bağımsız olarak parametreleri aynı μ ve değişik σ olan log-normal dağılım gösteren değişkenlerse ve   ise, o halde Y de log-normal dağılım gösteren değişkendir; yani   olur.


Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle