Kesişen kesenler teoremi

Kesişen kesen (sekant) teoremi veya sadece kesen (sekant) teoremi, kesişen iki sekant ve ilişkili çember tarafından oluşturulan doğru parçalarının ilişkisini açıklayan temel bir geometri teoremidir.

$\triangle PAC\sim \triangle PBD$'den faydalanarak $|PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|$ sonucu elde edilir.

Açıklama

$P$'de birbiriyle kesişen iki $AD$ ve $BC$ doğrusu ve $B$ ile $C$'dekine karşılık gelen $A$ ile $D$'deki çember parçası (segment) için aşağıdaki denklem geçerlidir:

$|PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|$

Teorem, $\triangle PAC$ ve $\triangle PBD$ üçgenlerinin benzer olduğu gerçeğini doğrudan takip eder. $AB$ yayını gören çevre açılar olduğundan $\angle DPC$ ve $\angle ADB=\angle ACB$ açısını paylaşırlar. Benzerlik, yukarıda verilen teoremin denklemine eşdeğer olan oranlar için aşağıdaki gibi bir denklem verir:

${\frac {PA}{PC}}={\frac {PB}{PD}}\Leftrightarrow |PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|$

Kesişen kirişler teoremi ve teğet-kesen teoreminin yanında, kesişen sekantlar teoremi, iki kesişen doğru ve bir çember hakkında daha genel bir teoremin üç temel durumundan birini temsil eder - noktanın kuvveti teoremini.

İspat

Kesişen Sekant Teoreminin Kanıtı:

(1) $\angle EDC\cong \angle CDE$ // Her iki üçgen için ortak açı, eşitliğin yansıma özelliği

(2) $\angle PDB\cong \angle PCA$ // Aynı yayı oluşturan (gören) çevre açılar eşittir

(3) $\angle DBP\cong \angle CAP$ // (1), (2), Üçgendeki açıların toplamı

(4) $\triangle PDB\sim \triangle PCA$ // AAA benzerliğinden

(5) $|PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|$ // (4), benzer üçgenlerin özelliğinden oranlar içler dışlar çarpımı yapılarak nihai sonuç elde edilir.

Kaynakça

• Gottwald, S. (2012), The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, Springer, ss. 175-176, ISBN 9789401169820 
• O'Leary, Michael L. (2010), Revolutions in Geometry, Wiley, s. 161, ISBN 9780470591796, 12 Haziran 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 22 Aralık 2020 
• Schülerduden - Mathematik I (Almanca) (8 bas.), Mannheim: Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2008, ss. 415-417, ISBN 978-3-411-04208-1 

Dış bağlantılar

• Secant Secant Theorem 12 Haziran 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ proofwiki.org
• Power of a Point Theorem 31 Aralık 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ cut-the-knot.org
• Eric W. Weisstein, Chord (MathWorld)