Küp problemi

İstatistik bilimi içinde küp problemi (İngilizce urn problem) bir idealize edilmiş düşünce denemesi olup pratik hayatta ilgilenilen nesneler (atomlar, kişiler, otomobiller vb.) bir küp veya benzeri bir kap içinde bulunan renkli toplarla temsil edilmektedir. Bir veya daha fazla sayıda topun küpten çıkartıp alındığı düşünülür; bu düşüncenin hedefi, belli bir renkte ve diğer özellikte olan topların küpten çıkarılma olasılığını incelemektir.

Temel küp problemi

Bu olasılık kuramı kapsamında bulunan bu temel küp modelinde küpün sadece x sayıda beyaz ve y sayıda siyah top ihtiva ettiği düşünülür. Bu küpten tek bir top rassal olarak çekilir ve rengi gözlenir. Top tekrar küpe geri konulur ve bu seçim süreci tekrar ettirilir.

Bu temel problem modelinin yanıt sağlayabileceği sorular şunlar olabilir:

n sayıda çekim ve gözlem yapılırsa beyaz ve siyah topların oranı hakkında bir hüküme varmak mümkün müdür? Verilen bu karar için itimat derecesi ne olacaktır?
x ve y bilindiğine göre belirli bir seri topu arka arkaya çekme (örnegin önce beyaz sonra siyah vb) olasılığı nedir?
Yapılan çekişlerde yalnızca beyaz toplar elde edilmekte ise acaba küpte hiçbir siyah top bulunmadığına nasıl emin olunabilinir?

Diğer modeller

Çok daha çeşitli küp problem şekilleri bulunabilir. Bazıları

küpün içinde renkli toplar olacağına, üzerine numara yazılmış toplar bulunabilir;
küpün içinden birer birer çekilen top geriye konulmayabilir.

Küp problemlerine örnekler

Binom dağılıminın matematiksel geliştirilmemesi.
Hipergeometrik dağılımının matematiksel geliştirilemesi.
İstatistiksel fizik: enerji ve hız dağılımlarının türetilmesi
Ellsberg paradoksu
Pólya'nin küpü: Analize başlarken küpün içinde b sayıda beyaz ve s sayıda

siyah top bulunduğu düşünülsün. Küpten rassal olarak bir top seçilip çekilsin. Bu seçilip çekilen top (bir başka yerde saklanmakta olan) bir diğer top ile birlikte yine küp içine koyulsun. Bu demektir ki küp içindeki top sayısı her bir çekişte büyümektedir. Bu işlemin n defa tekrarlanması sonunda küp içinde bulunan beyaz top sayısı X_n olacaktır. Y_n=X_n olarak tarif edelim. Bu halde {n=1, 2, 3,... için y_n } n değeri arttıkça beta dağılımına yaklaşacak ve şekli de özel bir stokastik süreç olan martingale olacaktır.

Tarihsel görüş

1713 de Jakob Bernoulli tarafından Ars conjectandi adı verilmiş makalenin yayınlanmasından beri, küp problemleri olasılık kuramı içinde bir önemli yer kapsamaktadırlar. Bernoulli'yi bu makaleyi yazmaya iten nedenler pratik hayatta gözlemini yaptığı ve bir kabtan rassal olarak topların çekilmesini içeren piyangolar, seçimler veya kumar yani şans oyunları olmuştu.

Tarihçilerin yazdıklarına göre

Orta çağlarda ve rönesans devrinde Venedikte yapılan seçimlerde, Venedik Dukası seçimleri dahil, oy verecek seçmenlerin tayini çok kere bir küpten çekilen değişik renkte toplar kullanılması suretiyle yapılmaktaydı.

[1] 10 Ekim 2004 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Ars conjectandi adlı eserinde Bernoulli bir küp içinden çekilip alınan çakıl taşı sayısına dayanarak değişik renklerin oranlarının tayin edilme problemi üzerinde deney yaptığını bildirmektedir. Bu problem ters olasılık adı ile anılmaktaydı ve onsekizinci yüzyılda önemli bir araştırma konusu olmuştu ve tanınmış matematikçiler Abraham de Moivre ve Thomas Bayes bu alanda çalışmalar yapmışlardır.

İçsel kaynaklar

Madeni para ile yazı tura denemeleri
Merkezsel olmayan hipergeometrik dağılım