Euler-Fuss denklemi

Leonhard Euler'in temel dörtgen geometrisindeki birçok sonucundan biri, iç içe uzanan iki belirli çember için Öklid düzleminde, hem daha büyük çemberin kirişler dörtgeni hem de daha küçük olana teğet olan bir teğetler dörtgeni olan bir dışbükey dörtgen bulunması problemiyle ilgilidir. Euler bunun için, dairenin merkezi ile bir düzlem üçgenin merkezi arasındaki mesafeye ilişkin teoremindekiyle yakından ilişkili olan bir denklem buldu. Denklemin ilk yayınlanmış sunumu ve türetilmesi, Euler'in sekreteri Nikolaus Fuß tarafından 1798'de sağlandı.[1][2][3]

Denklemin gösterimi

değiştir
 
Euler denklemi dışbükey bir dörtgen verir

Aşağıdaki teorem, karşılık gelen Fuss teoremini ve tersini birleştiren Euler-Fuß denklemi için geçerlidir:[4]

İki pozitif sayı   ve   verilsin, yanı sıra iki daire   ve   Öklid düzlemi   içinde   yarıçap   ve   yarıçap  'ye sahip olsun.
Çember  ,  ’den içerideki çember  ,  ' den oluşsun ve   olsun.
İki çember merkezi arasındaki uzunluk   ile gösterilsin.
Sonra:
O zaman ve ancak o zaman Öklid düzleminde dışbükey bir dörtgen var olur.   iç teğet çember ve   çevrel çember olmak üzere denklem;
 
olarak gösterilir.

Uyarılar

değiştir
  • Heinrich Dörries Mathematischen Miniaturen adlı kitabında Euler-Fuß denklemi, Fuß'un dörtgen formülü anahtar kelimesi altında da anılır. Dörrie diğer parametreleri kullanarak aşağıdaki denklemi verir:[3][5]
 
  • Heinrich Dörrie'ye göre, hem çevrel hem de iç teğet bir çembere sahip olan bir dışbükey dörtgene iki merkezli (bicentric) dörtgen de denir.[5]
  • Triumph der Mathematik adlı çalışmasında Heinrich Dörrie, Nikolaus Fuß'un da beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgen için iki merkezliye karşılık gelen formüller bulduğunu işaret etti.[6]

Kaynakça ve literatür

değiştir
  1. ^ Julian Lowell Coolidge: A Treatise on the Circle and the Sphere. 1916 (Nachdruck 1971, 2004), S. 44 ff
  2. ^ Max Simon: Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert. 1906, S. 108
  3. ^ a b Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. 1979, S. 71–72, 115
  4. ^ Julian Lowell Coolidge: op. cit. S. 46 ff, 117–118
  5. ^ a b Dörrie, op. cit., s. 522
  6. ^ Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. 1958, s. 196

Dış bağlantılar

değiştir

Konuyla ilgili yayınlar

değiştir