Diofantos denklemi

Diofantos denklemi diğer bir adıyla Diophantine denklemleri adını M.S. 3. yüzyılda yaşadığı tahmin edilen Antik Yunan matematikçilerden Diofantos'dan alan değişkenleri ve katsayıları tam sayılar olan denklemlerdir.^[1] Diofantos Arithmetika adlı sadece 6 cildi günümüze ulaşan çalışmasında 130 denkleme (bugün Diofantos denklemleri olarak adlandırılan) ve bunların çözümlerine yer vermiştir.^[2]

Doğrusal denklemler değiştir

Basit doğrusal Diofantos denklemine örnekler aşağıdaki gibi verilebilinir;

Örnek 1.1

x+y=1

Bu eşitlikte her bir x değeri için tek bir y çözümü vardır ( $y=1-x$ ). Bu eşitliğin çözüm kümesi;

(X, 1 − X) şeklindedir her X ∈ Z için

Örnek 1.2

x+2y=1

Bu defa x'in herhangi bir tam sayı olamayacağı fakat sadece tek sayı olabileceği görülüyor ( $x=1-2y$ ). Bu eşitliğin çözüm kümesi;

(1-2y, y) şeklindedir her y ∈ Z için

Örnek 1.3

3x+6y=1

Bu eşitliğin çözüm kümesi boş kümedir. Her $x$ ve $y$ tam sayı seçimi için bu denklemin sol tarafı her zaman 3'ün katı olduğu halde sağ tarafı hiçbir zaman 3'ün katı olamaz.

Genel doğrusal Diofantos denklemi

ax+by=c

Şeklindedir. Burada a, b ve c tam katsayılar

x

ve

y

tam sayı değişkenlerdir.

Diğer Örnekler değiştir

Pisagor Denklemi değiştir

Genel bir örnek Pisagor denklemidir (Bakınız; Pisagor teoremi )

Örnek 2.1.1

x^{2}+y^{2}=z^{2}\,

Burada

x,y,z

tam sayıları dik üçgenin kenar uzunluklarını da temsil ettiği için Pisagor üçlemi olarak da adlandırılır.

Fermat Denklemi değiştir

(Bakınız; Fermat'nın son teoremi )

Örnek 2.2.1

x^{n}+y^{n}=z^{n}\,

, n > 2
Bu eşitliğin

x,y,z

tam sayı değişkenlerinden en az birinin 0 olması durumu dışında çözümü yoktur.

Pell'in Denklemi değiştir

Bakınız Pell denklemi
Bu denklem adını 17. yüzyıl İngiliz Matematikçi John Pell'den alır.

Örnek 2.3.1

x^{2}-ny^{2}=1\,

, n>0 ve n tam sayısı tam kare değildir

Kaynakça değiştir

Özel

^ Quick, Martyn. "Linear Diaphantine" (PDF) (İngilizce). University of St Andrews. 25 Kasım 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Ekim 2012.
^ Kirschenbaum, Marni. "Alexandrian Algebra according to Diophantus". Ruthgers. 21 Mart 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Ekim 2012.

Genel

"Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html 11 Mayıs 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. adresinden
"Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://planetmath.org/encyclopedia/DiophantineEquation.html 8 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. adresinden
"Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://www.math.umass.edu/~gunnells/talks/abc.pdf 15 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. adresinden

[1] Quick, Martyn. "Linear Diaphantine" (PDF) (İngilizce). University of St Andrews. 25 Kasım 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Ekim 2012.

[2] Kirschenbaum, Marni. "Alexandrian Algebra according to Diophantus". Ruthgers. 21 Mart 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Ekim 2012.

[1]

[2]