Diofantos denklemi

(Diophantus Denklemi sayfasından yönlendirildi)

Diofantos denklemi diğer bir adıyla Diophantine denklemleri adını M.S. 3. yüzyılda yaşadığı tahmin edilen Antik Yunan matematikçilerden Diofantos'dan alan değişkenleri ve katsayıları tam sayılar olan denklemlerdir.[1] Diofantos Arithmetika adlı sadece 6 cildi günümüze ulaşan çalışmasında 130 denkleme (bugün Diofantos denklemleri olarak adlandırılan) ve bunların çözümlerine yer vermiştir.[2]

Doğrusal denklemler değiştir

Basit doğrusal Diofantos denklemine örnekler aşağıdaki gibi verilebilinir;

  • Örnek 1.1
 

Bu eşitlikte her bir x değeri için tek bir y çözümü vardır ( ). Bu eşitliğin çözüm kümesi;

(X, 1 − X) şeklindedir her X ∈ Z için
  • Örnek 1.2
 

Bu defa x'in herhangi bir tam sayı olamayacağı fakat sadece tek sayı olabileceği görülüyor ( ). Bu eşitliğin çözüm kümesi;

(1-2y, y) şeklindedir her y ∈ Z için
  • Örnek 1.3
 

Bu eşitliğin çözüm kümesi boş kümedir. Her   ve   tam sayı seçimi için bu denklemin sol tarafı her zaman 3'ün katı olduğu halde sağ tarafı hiçbir zaman 3'ün katı olamaz.

  • Genel doğrusal Diofantos denklemi
 
Şeklindedir. Burada a, b ve c tam katsayılar   ve   tam sayı değişkenlerdir.

Diğer Örnekler değiştir

Pisagor Denklemi değiştir

Genel bir örnek Pisagor denklemidir (Bakınız; Pisagor teoremi )

  • Örnek 2.1.1
 
Burada   tam sayıları dik üçgenin kenar uzunluklarını da temsil ettiği için Pisagor üçlemi olarak da adlandırılır.

Fermat Denklemi değiştir

(Bakınız; Fermat'nın son teoremi )

  • Örnek 2.2.1
 , n > 2
Bu eşitliğin   tam sayı değişkenlerinden en az birinin 0 olması durumu dışında çözümü yoktur.

Pell'in Denklemi değiştir

Bakınız Pell denklemi
Bu denklem adını 17. yüzyıl İngiliz Matematikçi John Pell'den alır.

  • Örnek 2.3.1
 , n>0 ve n tam sayısı tam kare değildir

Kaynakça değiştir

Özel
  1. ^ Quick, Martyn. "Linear Diaphantine" (PDF) (İngilizce). University of St Andrews. 25 Kasım 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Ekim 2012. 
  2. ^ Kirschenbaum, Marni. "Alexandrian Algebra according to Diophantus". Ruthgers. 21 Mart 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Ekim 2012. 
Genel