Ana menüyü aç

Matematikte Cauchy çarpımı, ve gibi iki dizinin

biçiminde ifade edilen süreksiz katlamasıdır. Kavram, Augustin Louis Cauchy tarafından bulunmuştur.

İki dizinin çarpımına eşit olan ifade doğal sayılar kümesi () yarıöbek halkasının bir elemanı olarak da değerlendirilmektedir.

DizilerDüzenle

  ve   dizileri iki kurallı serinin (yakınsak olmaları gerekmiyor) terimleri olarak da düşünülebilir.

 

Bu serilere daha çok gerçel ve karmaşık sayılarda rastlanmaktadır. n = 0, 1, 2, … değerleri için Cauchy çarpımı şu biçimde tanımlanır:

 

"Kurallı" terimi, diziler üzerinde gerçekleştirilen değişikliklerin yakınsaklık kavramını göz önüne almadan yapıldığını belirtmektedir.

İki dizinin de yakınsadığı durumlarda akla

 

sonsuz dizi toplamının

 

çarpımına eşit olduğu gelmektedir. Bu akıl yürütme kurallı durumlar için doğru sonucu vermektedir ancak iki dizinin Cauchy çarpımı dizilerin en az birinin yakınsak olmadığı durumlarda da tanımlıdır.

ÖrneklerDüzenle

Sonlu dizilerDüzenle

Tüm   değerleri için   ve tüm   değerleri için   koşulları sağlanıyorsa   ve  'nin Cauchy çarpımı   olarak hesaplanır. Bu, sonlu dizilerin Cauchy çarpımının olağan çarpma işlemine indirgenebildiğini göstermektedir.

Sonsuz dizilerDüzenle

  •   değerleri için   ve   eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın.
 

eşitliği tanım gereği sağlanır ve binom açılımı tarafından desteklenir. Kurallı diziler için geçerli olan   ve   eşitlikleri   sonucunu doğurur. İki mutlak yakınsak dizinin Cauchy çarpımının limiti bu dizilerin limitleri çarpımına eşit olduğundan aşağıdaki ifade kanıtlanmış olur.

  (tüm   değerleri için)

  • Tüm   değerleri için   koşulu sağlanıyorsa   eşitliği tüm   değerleri için geçerlidir. Bu durumda Cauchy çarpımı
 

olarak hesaplanır ve bu ifade yakınsamaz.

Yakınsaklık ve Mertens kuramıDüzenle

x ve y gerçel diziler olmak üzere,   dizisi Y'ye yakınsıyor ve   dizisi X'e mutlak yakınsıyorsa bu dizilerin Cauchy çarpımı ( ) XY'ye yakınsar. Franz Mertens tarafından kanıtlanan bu kuram, iki dizinin koşullu yakınsak olmaları durumunda geçerli değildir. Örneğin,   dizisi bir koşullu yakınsak dizi üretir ancak   sıfıra yakınsamamaktadır.

Mertens kuramının kanıtıDüzenle

 ,   ve   eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Terimlerin yerlerinin değiştirilmesiyle   sonucuna ulaşılır ve böylece   eşitliği sağlanır. ε > 0 olmak koşuluyla,   mutlak yakınsak ve   yakınsak olduğundan tüm nN değerleri için   eşitsizliğini sağlayan bir N tam sayısı ve tüm   değerleri için   eşitsizliğini sağlayan bir M tam sayısı bulunur. Ayrıca,   koşulu sağlanıyorsa   eşitsizliğini sağlayan bir L tam sayısı da bulunur. Böylece; N, M ve L'den büyük tüm n tam sayıları için

 

eşitsizliği yazılabilir. Dizi yakınsaklığı tanımı gereği   ifadesi de geçerlidir.

Cesàro kuramıDüzenle

x ve y gerçel diziler olmak üzere   ve   ise

 

ifadesi yazılabilir.

GenellemelerDüzenle

Şu ana dek açıklanan tüm kavramlar   (karmaşık sayılar) kümesinde tanımlı diziler için geçerlidir. Cauchy çarpımı, çarpma işleminin iç çarpım olarak tanımlandığı   uzaylarında (Öklit uzayları) da tanımlıdır. Bu tanıma göre, iki dizinin mutlak yakınsıyor oluşu bu dizilerin Cauchy çarpımının dizi limitlerinin iç çarpımına mutlak yakınsadığı anlamına gelmektedir.

İşlev katlamasıyla ilişkisiDüzenle

Çifte sonsuz diziler için de Cauchy çarpımı tanımı yapılabilmektedir ancak çarpım her koşulda tanımlı değildir. Örneğin, 1 sabit dizisinin kendisiyle Cauchy çarpımı ( ) tanımsızdır.

KaynakçaDüzenle