Bochner-Martinelli formülü

Matematikte, Bochner-Martinelli formülü, Cauchy integral formülünün birden fazla kompleks değişkenli fonksiyonlara yönelik genellemelerinden birisidir. Enzo Martinelli (1938) ve Salomon Bochner (1943) tarafından bağımsız olarak kanıtlanmıştır.

Formülün diferansiyel formlara yönelik genellemesi Bochner-Martinelli-Koppelman formülü olarak bilinmektedir.

Tarihçe

Bochner-Martinelli formülünün yayınlandığı ve kanıtlandığı ilk makale Martinelli'ye aittir. Başka bir makalede ise, Martinelli Hartogs teoreminin kanıtını Bochner-Martinelli formülünü kullanarak vermiştir.

Bochner ise 1943'ün nisan ayında yayınlanması için ibraz ettiği makalesinde yer alan ve yine aynı yılın Eylül ayında güncellediği bir dipnotta Formül (53)'ün ve kanıtı bu formüle dayanan Teorem 5'in Enzo Martinelli tarafından (Martinelli 1943) hemen yakın zamanda yayınlandığını söylemektedir. Yine aynı dipnotta, yazarın (yani Bochner'in) bu sonuçları daha önce 1940/41 kış döneminde Princeton'daki doktora seviyesindeki bir derste sunduğu ve Donald C. May tarafından Haziran 1941'de yazılan An integral formula for analytic functions of k variables with some applications başlıklı doktora tezinde yer aldığı kaydedilmiştir. Ancak, Bochner 1947'de yayınladığı bir makalesindeki dipnotta, daha önce Bochner 1943 makalesindeki dipnotta Martinelli'den önce bu formüle aşina olabileceği hakkındaki iddiasının dayanaksız olduğunu ve bu iddiasını geri çektiğini yazmıştır.

Walter Koppelman son yaptığı yayınında Cauchy-Fantappiè çekirdeği ile alakalı mekanizmanın sadece fonksiyonlar için değil diferansiyel formlar için de uyarlanabileceğini göstermiştir.

Bochner–Martinelli çekirdeği

$\zeta ,z\in \mathbb {C} ^{n}$ için, Bochner–Martinelli çekirdeği ω(ζ, z) ikili derecesi (n,n−1) olan ve ζ için aşağıdaki gibi tanımlı bir formdur:

$\omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}$

Burada, toplamın terimleri dζ_j formunu atlar.

$\Omega$ kümesi $\mathbb {C}$ⁿde parçalı düzgün bir sınıra ($b\Omega$) sahip olan bir bölge olsun. Diyelim ki f fonksiyonu $\Omega$ kümesinin kapanışında sürekli türevlenebilen bir fonksiyondur. O halde, Bochner-Martinelli formülü şunu ifade eder: $z\in \Omega$ için

$\displaystyle f(z)=\int _{b\Omega }f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{\Omega }{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).$

• Bu formülü veren teoremler aslında formülden daha fazlasını gösterirler. Bu teorem ifadelerinde, formülün sağ tarafı baz alınıp eşitlik bölge içindeki noktalar için yukarıdaki gibi verilir; bölgenin kapanışının dışında kalan noktalar içinse sonuç 0 olarak verilir.
• f ayrıca holomorf ise, ikinci integral o zaman sıfıra eşittir ve aşağıdaki bağlantı holomorf fonksiyonlar için yazılabilir.

$\displaystyle f(z)=\int _{b\Omega }f(\zeta )\omega (\zeta ,z).$

• Bochner-Martinelli çekirdeği harmoniktir ama $n>1$ için holomorf değildir.

Cauchy çekirdeği

Bochner-Martinelli çekirdeği Cauchy çekirdeğini birden fazla kompleks boyuta taşımaktadır. Gerçekten de $n=1$ alınırsa, o zaman Bochner-Martinelli çekirdeği şu hali alır:

$\omega (\zeta ,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2}}}({\overline {\zeta }}-{\overline {z}})d\zeta .$

Burada, $|z-\zeta |^{2}=(z-\zeta )({\overline {z}}-{\overline {\zeta }})$ olduğunu gözlemleyip gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra çekirdeğin

$\omega (\zeta ,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{(\zeta -z)}}d\zeta$

olduğu görülür ki bu da Cauchy çekirdeğidir. Sonuç olarak, eğer f bir kompleks değişkenli holomorf fonksiyon ise Bochner-Martinelli formülünün yukarıda verilen özel hali Cauchy integral formülüne dönüşür. Yani,

$\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{b\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}d\zeta .$

Bochner-Martinelli-Koppelman çekirdeği

$\gamma =\sum _{j=1}^{n}({\bar {w}}_{j}-{\bar {z}}_{j})dw_{j}$ olsun. O zaman, Bochner–Martinelli-Koppelman çekirdeği $(p,q)$ formları $(1\leq q\leq n-1)$ için şu şekilde yazılabilir:

$U_{q}({w},{z})={{n-1} \choose {q}}{\frac {(-1)^{\frac {q(q-1)}{2}}}{(2\pi i)^{n}}}\gamma \wedge ({\overline {\partial }}_{z}\gamma )^{q}\wedge ({\overline {\partial }}_{w}\gamma )^{n-q-1}$

$\Omega$ kümesi $\mathbb {C}$ⁿde parçalı düzgün bir sınıra ($b\Omega$) sahip olan bir bölge olsun. Diyelim ki f, $\Omega$ bölgesinin kapanışında sürekli türevlenebilen bileşen fonksiyonları olan $(0,q)$-formu olsun. O halde, Bochner-Martinelli-Koppelman formülü şunu ifade eder: $z\in \Omega$ için

$\displaystyle f(z)=\int _{b\Omega }f(w)\wedge U_{q}(w,z)-\int _{\Omega }{\overline {\partial }}_{w}f(w)\wedge U_{q}(w,z)-{\overline {\partial }}_{z}\int _{\Omega }f(w)\wedge U_{q-1}(w,z).$

Bu teoremin ifadelerinde, formülün sağ tarafı baz alınıp eşitlik bölge içindeki noktalar için yukarıdaki gibi verilir; bölgenin kapanışının dışında kalan noktalar içinse sonuç 0 olarak verilir.

Kaynakça

• Boas, Harold (2005), Topics in Several Complex Variables [Çok karmaşık değişkenli analizde konular] (PDF) (22 Haziran 2010da küçük güncellemeler yapılmıştır).
• Bochner, Salomon (1943), "Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula" [Green formülü vesilesiyle analitik ve meromorf devamlılık], Annals of Mathematics, Second Series, 44 (4), ss. 652-673, doi:10.2307/1969103, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969103, MR 0009206, Zbl 0060.24206 .
• Bochner, Salomon (1947), "On compact complex manifolds" [Tıkız kompleks manifoldlar üzerine], The Journal of the Indian Mathematical Society, New Series, cilt 11, ss. 1-21, MR 0023919, Zbl 0038.23701 .
• Koppelman, Walter (1967), "The Cauchy integral for functions of several complex variables" [Birden fazla kompleks değişkenli fonksiyonlar için Cauchy integrali], Bull. Amer. Math. Soc. (İngilizce), 73, ss. 373-377 .

• Martinelli, Enzo (1938), "Alcuni teoremi integrali per le funzioni analitiche di più variabili complesse" [Birden fazla kompleks değişkenli analitik fonksiyonlar için bazı integral teoremleri], Atti della Reale Accademia d'Italia. Memorie della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (İtalyanca), 9 (7), ss. 269-283, JFM 64.0322.04, Zbl 0022.24002 .
• Martinelli, Enzo (1942–1943), "Sopra una dimostrazione di R. Fueter per un teorema di Hartogs" [Hartogs'un bir teoreminin R. Fueter tarafından bir kanıtı üzerine], Commentarii Mathematici Helvetici (İtalyanca), 15 (1), ss. 340-349, doi:10.1007/bf02565649, MR 0010729, Zbl 0028.15201, 2 Ekim 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 4 Temmuz 2020 . SEALS Portal kaynağında mevcut. 10 Kasım 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.