Akustik dalga denklemi

Fizikte akustik dalga denklemi, akustik dalgaların bir ortamda yayılımını düzenler. Denklemin biçimi ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemdir. Denklem, akustik basınç $p$ ve parçacık hızı u nun gelişimini, konum r ve zaman $t$ türünden fonksiyon olarak ifade eder. Denklemin basitleştirilmiş bir formu akustik dalgaları sadece bir boyutlu uzayda, daha genel formu ise dalgaları üç boyutta tanımlar.

Tek boyutta

Denklem

Sesin madde içerisindeki davranışını tek boyutta tanımlayan dalga denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir,

${\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0$

$p$ akustik basıncı(ortam basıncından değişimi), $c$ ise ses hızını gösteriyor.

Çözüm

Hızın $c$ sabit olduğu düşünüldüğünde, frekansa bağlı olmadan(dağılım olmayan durumda) en genel çözüm;

$p=f(ct-x)+g(ct+x)$

$f$ ve $g$ iki kere türevlenebilen fonksiyonlardır. İki hareket eden dalganın üst üste binmesi olarak görülebilir, ($f$) pozitif x-ekseninde, ($g$) ise negatif x-ekseninde $c$ hızıyla hareket eder. Tek bir yönde hareket eden bir sinüs dalgası ise f veya g den birinin sinüsoid ve diğerinin sıfır olması ile elde edilir.

$p=p_{0}\sin(\omega t\mp kx)$.

$\omega$ dalganın açısal frekansını, $k$ ise dalga sayısını verir.

Elde etme

Dalga denklemi lineerize edilmiş tek boyutlu süreklilik denkleminden, tek boyutlu kuvvet denkleminden ve hal denkleminden elde edilebilir Hal denklemi(ideal gaz yasası):

$PV=nRT$

Adiabatik(ısı almayan) işlemde, basınç P yoğunluğun $\rho$ bir fonksiyonudur ve şu şekilde lineerize edilebilir;

$P=C\rho \,$

C herhangi bir katsayı. Basınç ve yoğunluğu ortalama ve toplam bileşenlerine ayırırsak:

$P-P_{0}=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)(\rho -\rho _{0})$.

Akışkanlar için adiabatik hacim modülü;

$B=\rho _{0}\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{adiabatic}$

Şu sonucu verir:

$P-P_{0}=B{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho _{0}}}$.

Yoğunlaşma, s, verilen bir akışkan yoğunluğu için yoğunluktaki değişme olarak tanımlanır.

$s={\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho _{0}}}$

Lineerize edilmiş hal denklemi buna dönüşür:

$p=Bs\,$

P akustik basınç (P − P₀).

Süreklilik denklemi(kütle korunumu) tek boyutta şöyledir:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)=0$.

Denklem lineerize edilmeli ve değişkenler yine ortalama ve değişen bileşenlerine ayrılmalıdır.

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho _{0}s)+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho _{0}u+\rho _{0}su)=0$

Tekrar düzenleyerek ve ortam yoğunluğunun zamana veya konuma bağlı değişmediğine, aynı zamanda hız ile yoğunluğun çarpımının çok küçük bir sayı olduğuna dikkat ederek şunu yazabiliriz:

${\frac {\partial s}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}u=0$

Euler’ın Kuvvet yasası(momentum korunumu) gereken sonunsur. Tek boyutta denklem:

$\rho {\frac {Du}{Dt}}+{\frac {\partial P}{\partial x}}=0$

$D/Dt$ ileten, kayda değer veya gerekli türevdir, sabit bir noktadan ziyade ortamla beraber hareket eden bir noktadaki türevdir. Değişkenleri lineerize edersek:

$(\rho _{0}+\rho _{0}s)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+u{\frac {\partial }{\partial x}}\right)u+{\frac {\partial }{\partial x}}(P_{0}+p)=0$.

Küçük terimleri yok sayıp yeniden düzenlersek denkem bu hale gelir:

$\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}=0$.

Süreklilik denkleminin zamana göre, kuvvet denkleminin ise konuma göre türevlerini alırsak:

${\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial t}}=0$

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0$.

İlk denklemi $\rho _{0}$ ile çarpar, birbirlerinden çıkarır ve hal denkleminin lineerize edilmiş formunu yerine koyarsak:

$-{\frac {\rho _{0}}{B}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0$

Son hali şu olur:

${\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0$

$c={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}}$ yayılma hızıdır

Üç boyutta

Denklem

Feynman üç boyutta sesin ortamdaki dalga denklemini şöyle elde etmiştir:

$\nabla ^{2}p-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0$

$\nabla ^{2}$ Laplace operatörü, $p$ akustik basınç ve $c$ sesin hızıdır.

Çözüm

Aşağıdaki çözümler farklı koordinat sistemlerinde değişken ayırma yöntemi ile elde edilmiştir. Bu çözümlerin zamana bağlı açık olmayan bir faktörleri vardır, $e^{i\omega t}$,burada $\omega =2\pi f$ açısal frekanstır. Açık zamana-bağlılık şöyle verilir:

$p(r,t,k)=\operatorname {Real} \left[p(r,k)e^{i\omega t}\right]$

burada $k=\omega /c\$ dalga sayısıdır.

Kartezyen koordinatlarda

$p(r,k)=Ae^{\pm ikr}$

Silindirik koordinatlarda

$p(r,k)=AH_{0}^{(1)}(kr)+\ BH_{0}^{(2)}(kr)$

Burada $kr\rightarrow \infty$ iken Hankel fonksiyonlarına asimptotik yaklaşımlar şöyle verilir;

$H_{0}^{(1)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{i(kr-\pi /4)}$

$H_{0}^{(2)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{-i(kr-\pi /4)}$

Küresel koordinatlarda

$p(r,k)={\frac {A}{r}}e^{\pm ikr}$

Seçilen Fourier kuralına bağlı olarak, bunlardan biri dışarı hareket eden, diğeri ise fiziksel olmayan içeri hareket eden dalgayı temsil eder. İçeri hareket eden dalganın fiziksel olmaması sadece r=0 da oluşan tekillikten ileri gelir; içeri hareket eden dalgalar mevcuttur.