|
:<math>\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}</math>
== Dirichlet dizisinin analitik özellikleri: Yakınsaklık yatay ekseni ==
== Analytic properties of Dirichlet series: the abscissa of convergence ==
GivenKarmaşık asayılar kümesinde sequencetanımlı {''a''<sub>''n''</sub>}<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> of complex numbers we try to consider the value ofişlevi için
:<math> f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s} </math>
ifadesi [[karmaşık sayı|karmaşık]] değişken ''s''<nowiki>'</nowiki>nin bir işlevi olarak tanımlanabilmektedir.
as a function of the [[complex number|complex]] variable ''s''. In order for this to make sense, we need to consider the convergence properties of the above infinite series:
If {''a''<sub>''n''</sub>}<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> is abir [[boundedsınırlı sequencedizi]]yse ofbuna complexkarşılık numbers,gelen then the corresponding''f'' Dirichlet seriesdizisi ''fs''<nowiki>'</nowiki>nin convergesyarı açık düzleminde [[absoluteMutlak convergenceyakınsaklık|absolutelymutlak]] on the open half-plane of ''s'' such thatyakınsar (Re(''s'') > 1 olmak koşuluyla). InGenel generalolarak, if ''a''<sub>''n''</sub> = O(''n''<sup>''k''</sup>), the series converges absolutely in theeşitliği halfsağlanıyorsa planedizi Re(''s'') > ''k'' + 1 yarı düzleminde mutlak yakınsar.
If the set of sums ''a''<sub>''n''</sub> + ''a''<sub>''n'' + 1</sub> + ... + ''a''<sub>''n'' + ''k''</sub> istoplamlar bounded forkümesi ''n''<nowiki>'</nowiki>de sınırlı andve ''k'' ≥ 0, thenise theyukarıdaki abovesonsuz infinite series converges on the open half-plane of ''s'' such thatdizi Re(''s'') > 0 koşulunu sağlayacak biçimde yakınsar.
Her iki durumda da ''f'', yarı açık düzlemde tanımlı bir [[analitik fonksiyon|analitik işlev]]dir.
In both cases ''f'' is an [[analytic function]] on the corresponding open half plane.
Bir Dirichlet dizisinin '''yakınsaklık yatay ekseni''' karmaşık düzlemdeki dik doğrunun gerçel ekseni kestiği nokta olarak tanımlanmaktadır. Böylece, bu noktanın sağında kalan bölge yakınsaklığı, solunda kalan bölge ıraksaklığı simgeler. Bu, [[üs dizisi]]ndeki [[yakınsaklık yarıçapı]]na benzer bir kavramdır.
In general the '''abscissa of convergence''' of a Dirichlet series is the intercept on the real axis of the vertical line in the complex plane, such that there is convergence to the right of it, and divergence to the left. This is the analogue for Dirichlet series of the [[radius of convergence]] for [[power series]]. The Dirichlet series case is more complicated, though: [[absolute convergence]] and [[uniform convergence]] may occur in distinct half-planes.
In many cases, the analytic function associated with a Dirichlet series has an analytic extension to a larger domain.
==Derivatives==
| 