Russel paradoksu: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
kaynakça şablonu |
k düzenlemeler ve imla |
||
1. satır:
[[Matematiğin temelleri|Matematiğin temellerinde,]] 1901'de [[Bertrand Russell]] tarafından keşfedilen '''Russell Paradoksu''' , [[Georg Cantor]] tarafından yaratılan sezgisel kümeler kuramının resmileştirilmesinin bazı girişimlerin bir [[
Sezgisel kümeler kuramına göre, tanımlanabilir herhangi bir topluluk [[küme]]dir. O halde, ''X'' kendisini eleman olarak içermeyen kümeler kümesi olsun. Eğer X kendisinin bir elemanı değilse, kendisini içermelidir çünkü X kendisini içermeyen kümeleri içeren bir kümedir. Eğer X kendisinin bir elemanıysa, X kendisini içermeyen bir kümedir çünkü X kümesi kendisini içermeyen kümelerden oluşur. Oluşan bu paradoksa Russel Paradoksu denir.
▲[[Matematiğin temelleri|Matematiğin temellerinde,]] 1901'de [[Bertrand Russell]] tarafından keşfedilen '''Russell Paradoksu''' , [[Georg Cantor]] tarafından yaratılan sezgisel kümeler kuramının resmileştirilmesinin bazı girişimlerin bir [[Çelişki|çelişkiye]] yol açtığını gösterdi. Aynı paradoks 1899'da [[Ernst Zermelo]] tarafından da keşfedilmişti <ref>Bernhard Rang, Wolfgang Thomas: Zermelo's Discovery of the "Russell Paradox", Historia Mathematica 8.</ref> ancak Zermelo, sadece [[David Hilbert]], [[Edmund Husserl]] ve [[Göttingen Üniversitesi|Göttingen Üniversitesi'nin]] diğer üyeleri tarafından bilinen fikri yayınlamadı. 1890'ların sonunda Cantor, tanımının Hilbert ve [[Richard Dedekind|Richard Dedekind'e]] mektupla söylediği bir çelişkiye yol açacağını fark etmişti. <ref>Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: ''Vita Mathematica - Georg Cantor'', Birkhäuser, 1985, {{ISBN|3-764-31770-1}}</ref>
▲Sezgisel kümeler kuramına göre, tanımlanabilir herhangi bir topluluk [[küme]]dir. O halde, ''X'' kendisini eleman olarak içermeyen kümeler kümesi olsun. Eğer X kendisinin bir elemanı değilse, kendisini içermelidir çünkü X kendisini içermeyen kümeleri içeren bir kümedir. Eğer X kendisinin bir elemanıysa, X kendisini içermeyen bir kümedir çünkü X kümesi kendisini içermeyen kümelerden oluşur. Oluşan bu paradoksa Russel Paradoksu denir.
▲Sembolik olarak:
▲: <math> R = \{ x \mid x \not \in x \} \rightarrow R \in R \iff R \not \in R</math>
== Örnek ==
Çoğu küme kendi elemanı değildir. Örneğin, X bir [[düzlem]]deki tüm [[kare]]lerin kümesi olsun. Bu küme, düzlemde yer alan bir kare olmadığından kendisinin bir elemanı değildir. Eğer bir küme kendi elemanı değilse bu kümeye "normal küme", eğer kendi elemanıysa "anormal küme" diyelim. Yani yukarıda bahsedilen X kümesi normaldir. Öte yandan, X kümesinin tümleyeni, yani düzlemde kare '''olmayan''' her şeyi içeren küme, kendini içereceğinden ötürü anormal bir kümedir.
Y kümesi, tüm normal kümeleri içeren küme olsun. Y'nin normal mi yoksa anormal mi olduğunu anlamaya çalışacağız. Eğer Y normalse, o zaman kendini eleman olarak içermeli çünkü Y normal kümeler kümesiydi. Yalnız bu durumda Y kendisini içerdiği için tanım itibariyle anormaldir. Öte yandan eğer Y anormalse, Y kendini eleman olarak içermemesi gerekir, ama kendini içermemesi onu normal küme yapar.
Sonuç olarak, Y ne normal ne de anormal bir kümedir. Bu durum Russel paradoksudur.
== Biçimsel ifadesi ==
Sezgisel Kümeler Kuramı'nı, sembolik mantığın "<math>\in</math>" ikili ilişkisiyle ve tanımlı altküme aksiyom şemasıyla şu şekilde tanımlarsak:
: <math> \exists y \forall x (x \in y \iff \varphi(x))</math>
Görüldüğü gibi kümeler kuramında yazılmış herhangi bir <math>\varphi</math> özelliği için sadece x değişkeni serbesttir. Bu <math>\varphi</math> özelliğini <math>x \notin x</math> şeklinde tanımlayalım. O halde y=x seçtiğimiz durumda aşağıdaki gibi bir çelişki elde ederiz.
: <math>y \in y \iff y \notin y</math>
Bu da Russel bu çelişkiyi fark etmeden önce Frege'nin üzerinde çalıştığı kümeler kuramının tutarsız olduğunun bir göstergesidir.
== Kaynakça ==
| |||