İ sayısı: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmemiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Değişiklik özeti yok |
|||
3. satır:
[[Dosya:ImaginaryUnit5.svg|thumb|sağ| [[kartezyen koordinat sistemi|kartezyan düzlem]]'de '''i''''nin gösterimi. Yatay eksen reel sayıları, dikey eksen sanal sayıları gösterir.]]
'''Sanal birim''' ya da '''i sayısı''', x<sup>2</sup> = -1 eşitliğini sağlayan bir sayıdır. [[Reel sayılar]] kümesindeki hiçbir sayının karesi negatif olamayacağı için, bu [[İkinci dereceden denklemler|ikinci dereceden denklemi]] sağlayan fakat reel sayılar kümesine ait olmayan böyle bir sayı, genellikle '''i''' notasyonu ile gösterilir. '''i sayısı,''' ℝ ile gösterilen reel sayılar kümesini ℂ ile gösterilen [[Karmaşık sayı|kompleks sayılar]] kümesine genişleten ve sabit olmayan herbir P(x) polinomu için en az bir kök sağlayan matematiksel bir kavramdır. "Hayali" terimi negatif kareye sahip gerçek sayı olmadığı için kullanılır.
-1'in, bir çift karekökü olan 0 dışında her gerçek sayının iki karmaşık karekökü olduğu gibi, '''i''' ve '''-i''' olarak adlandırılan iki adet sanal karekökü vardır.
== Tanımı ==
37. satır:
|}</div>
'''i''' sayısı karesi -1 olan sayıdır. Dolayısıyla, x<sup>2</sup> = -1 eşitliğinin bir çözümüdür.
'''i''''yi bu şekilde tanımlandığında, cebrî olarak hemen '''i''' ve '''-i'''<nowiki/>'nin karelerinin -1 olduğu sonucuna ulaşırız.
Reel sayılar üzerinde işlem yapılırken, sanal ve komplex sayılar '''i''''ye herhangi bir bilinmeyen gibi yaklaşılarak kullanılabilir. İşlemler tamamlandığında, '''i''''nin tanımına geri dönülerek, '''i' ''<sup>2</sup> görülen her yere -1 yazılıp işlem tamamlanabilir. Ayrıca '''i''''nin kuvvetleri '''−i''', 1, '''i''', veya −1 ile yer değiştirilebilir.
:<math>i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \,</math>
:<math>i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \,</math>
:<math>i^5 = i^4 i = (1) i = i. \,</math>
Sıfır dışında herhangi bir reel sayıya benzer şekilde, '''i'''nin sıfırıncı kuvveti 1'dir:
:<math>i^0 = i^{1-1} = i^1i^{-1} = i^1\frac{1}{i} = i\frac{1}{i} = \frac{i}{i} = 1 \,</math>
52. satır:
==i ve -i==
<math>x^2+1= 0</math> polinomu dışında başka hiçbir ikinci derece polinomunda çok katlı ve kökleri birbirlerini destekleyen ve tersi olacak böyle bir özellik yoktur.
'''i''' ve '''-i''''nin birbirlerine eşit olmadığı -bir çözümdür- ve kanıtlanabilir,denklemin çözümünü sadece i olarak vermek belirsizlik ortaya çıkarır.Ancak '''i''' ve '''-i''' niceliksel ve niteliksel olarak kıyaslamada kullanılamaz.Her iki imajiner sayının kareleri -1 dir.
<math>x^2+1= 0</math> bağıntısında köklerde birisi daha notasyonel olsa da hiçbiri daha öncelikli kabul edilemez.
Bu konularda en hassas açıklama karmaşık düzlemde tanımlanan '''R'''[''X'']/ (''X''<sup>2</sup> + 1), izomorfizmdir,nerdeyse böyle eşsiz bir izomorfizm yoktur.
'''R'''[''X'']/ (''X''<sup>2</sup> + 1)'de ''X'' dan −''X'' a birbirine eş iki otomorfik düzlem vardır.
Bakınız [[Karmaşık sayı]], [[complex conjugation]], [[automorphism|field automorphism]], ve [[Galois group]].
Kompleks sayılar 2 × 2 reel matrisinde yorumlanırsa [[Matrix (matematik)|matrisler]] (bkz. [[Kompleks
:<math> X^2 = -I. \ </math>
matris denkleminin çözümü
76. satır:
Örneğin iki boyutlu vektörlerin inşasında (0,1) vektörü kullanılır.
== Doğru kullanım ==
İmajiner birim bazen uzman matematik bağlamlarında <math>\sqrt{-1}</math> olarak yazılır. (veya daha az uzman fakat popular bağlamda ). Ancak,[[N'inci kök|kök]] bulmak gibi durumlarda manipüle şekli kullanılmaktadır. Çünkü prensip olarak [[karekök]] fonksiyon,''yalnızca
:<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math> ''(tutarsız)''.
115. satır:
|}
== '''i''' sayısı'nın tersi ==
''i'''nin tersi kolaylıkla bulunur.:
:<math>\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i</math>
121. satır:
:<math>\frac{a + bi}{i} = -i\,(a + bi) = -ai - bi^2 = b - ai </math>
== '''i''' sayısı'nın kuvvetleri ==
'''i''' sayısının kuvvetleriyle tekrarlanan evresi:
:<math>\ldots</math>
:<math>i^{-3} = i\,</math>
145. satır:
Burada ''mod 4'' gösterimi [[operasyon modülü|aritmetik modül 4]].
=== Faktöriyel ===
Sanal birim {{Matematik|i}} nin [[faktöriyel]]i [[gama fonksiyonu]]nun terimleri içinde sıklıkla verilen {{Matematik|1 + '''i'''}} de değerlendirilir:
:<math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.</math>
156. satır:
:<math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,</math> ,şeklindedir.
burada ''x'' gerçel bir sayıdır. Bu formülde kompleks ''x'' analitik olarak gösterilebilir.
''x'' = π alınırsa
167. satır:
:<math>e^{i\pi} + 1 = 0.\,</math>
zarif bir şekle gelir.
Bu basit özdeşlikte beş farklı değeri bir arada bulabiliriz([[0 (number)|0]], [[1 (
=== Örnekler ===
201. satır:
== i sayısı ile yapılan işlemler ==
Gerçel sayılarla birlikte '''i''';üs alma, kök alma, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlu birçok matematiksel işlemlerde bir arada kullanılabilir.
Bir sayının ''
:<math> \!\ x^{ni} = \cos(\ln(x^n)) + i \sin(\ln(x^n)).</math>
Bir sayının ''
:<math> \!\ \sqrt[ni]{x} = \cos(\ln(\sqrt[n]{x})) - i \sin(\ln(\sqrt[n]{x})).</math>
216. satır:
görüldüğü gibi i tabanlı log herhangi tabanlı gibi tanımlı değil
'''i''
:<math> \cos(i) = \cosh(1) = {{e + 1/e} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} = 1.54308064.</math>
ve '''i''
:<math> \sin(i) = \sinh(1) \, i = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i = 1.17520119 \, i.</math>
== Alternatif gösterimler ==
* [[Elektrik mühendisliği]] ve diğer alanlarda, zamanın bir fonksiyonu olan '''i'''('''t''') veya sadece '''i''' olan [[akım (elektrik)|elektrik akımı]] ile karıştırılmaması için imajiner birim <math>j\,</math> seçilmiştir. Ancak [[Python (programlama dili)|Python programlama dili]]'ndede imajiner birim '''j''' olarak kullanılır. ise, '''i''' ve '''j''' gösterimlerini aynı şekilde algılar.
* Bazı özel incelem durumları içeren ders kitaplarında ise '''j''' = −'''i''', alma ihtiyacı vardır.
:özellikle hareketli dalgalar (e.g. x yönünde hareket eden düzlem dalga için
:<math>e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)} \,</math>).
| |||