Taylor serisi: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
→Kullanım Alanları: düzeltme AWB ile |
düzeltme AWB ile |
||
22. satır:
:<math>= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n</math>
Burada <math> n! </math>, ''n'' faktöriyeli; ''ƒ''<sup> (''n'')</sup>(''a'') ise ''f'' fonksiyonunun ''n''. dereceden türevinin ''a'' noktasındaki değerini belirtmektedir. ''f'' fonksiyonunun sıfırıncı dereceden türevi ''f''' in kendisiyle tanımlanmıştır ve {{
=== Maclaurin serisi ===
34. satır:
Herhangi bir çokterimlinin Maclaurin serisi, kendisidir.
{{
:<math>1+x+x^2+x^3+\cdots\!</math> geometrik serisidir.
42. satır:
:<math>1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots\!</math> dir.
Yukarıdaki Maclaurin serisinin integralini alarak {{
:<math>x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\cdots\!</math>
54. satır:
:<math>1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \quad = \quad 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.\!</math> dir.
e<sup>''x''</sup>'in x'e göre türevi yine e<sup>''x''</sup> 'e ve e<sup>''0''</sup> de 1'e eşit olduğundan yukarıdaki açılım sadeleşir. Bu sadeleşme sonucunda da sonsuz toplamdaki her terimin ''pay''ında {{
== Yakınsaklık ==
60. satır:
[[Dosya:Taylorsine.svg|200px|thumb|sağ|Pembeyle çizilmiş, orijin merkezli sinüs fonksiyonunun yedinci dereceden Taylor çokterimlisininin bir periyodunun çizimi, maviyle çizilmiş sinüs fonksiyonuna gittikçe yaklaşır.]]
[[Dosya:LogTay.svg|200px|thumb|sağ|log(''1+x'') için Taylor çokterimlisi sadece {{
Her fonksiyonun Taylor serisi yakınsak olmak zorunda değildir. Yakınsak Taylor serili fonksiyonlar kümesi, bir düz fonksiyonların ''Frechet uzayı''nda bir ''eksik küme''dir. Bu fonksiyonların dışında, genelde sözü geçen çoğu fonksiyonun Taylor serisi yakınsamaz.
| |||