Taylor serisi: Revizyonlar arasındaki fark

== Tanım ==

 

 

Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir <math>f(x)</math> fonksiyonunun a gerçel ya da karmaşık bir sayı olmak üzere <math>(a-r,a+r)</math> aralığındaki ''Taylor serisi'' şu şekilde tanımlanmıştır:

== Yakınsaklık ==

 

 

 

Her fonksiyonun Taylor serisi yakınsak olmak zorunda değildir. Yakınsak Taylor serili fonksiyonlar kümesi, bir düz fonksiyonların ''Frechet uzayı''nda bir ''eksik küme''dir. Bu fonksiyonların dışında, genelde sözü geçen çoğu fonksiyonun Taylor serisi yakınsamaz.

== Analitik fonksiyonlar ==

 

 

Eğer seri belirtilen aralıktaki her <math>x</math> noktasında <math>f(x)</math>'e yakınsıyorsa f(x) [[analitik fonksiyon|analitik]] bir fonksiyon olarak adlandırılır. Her sonsuz türevlenebilir fonksiyon analitik değildir. Örneğin, ''f''(''x'') =e ^−1/''x''², ''x ≠ 0'' ve <math>f(0)=0</math> fonksiyonunun Taylor serisi sıfıra denktir ancak fonksiyonun kendisi sıfırdan farklıdır.