Futbolculuk kariyerine doğduğu yer olan Ankara'nın takımlarından Oto Yıldırım'da başladı.<ref name="şampiyon"/> 1953'ün Temmuz ayında [[MKE Ankaragücü (futbol takımı)|Ankaragücü]]'ne transfer oldu.<ref>{{gazete kaynağı |başlık=Ankara kulüplerinde transfer hareketleri |tarih=6 Temmuz 1953 |gazete=Milliyet |sayfalar=5 |erişimtarihi=26 Mayıs 2013}}</ref> 1954 yazında [[Galatasaray (futbol takımı)|Galatasaray]]'a, takımın as kalecisi [[Turgay Şeren]]'in ardından yedek kaleci olarak transfer edildi. Buradaki ilk sezonu olan 1954-55 sezonu ile 1955-56 sezonunda [[İstanbul Profesyonel Ligi]] şampiyonlukları yaşadı. Turgay Şeren'in 2 Kasım 1958'deki [[Romanya Millîmillî Futbolfutbol Takımıtakımı|Romanya]]-[[Türkiye Millîmillî Futbolfutbol Takımıtakımı|Türkiye]] maçında sakatlanmasının ardından ilk defa kulübünde düzenli olarak oynamaya başladı.<ref>{{gazete kaynağı |başlık=Turgay 1 ay oynayamıyor |tarih=4 Kasım 1958 |gazete=Milliyet |sayfalar=6 |ilk=Gündüz |son=Kılıç |yazarlink=Gündüz Kılıç |yer=Bükreş |erişimtarihi=26 Mayıs 2013}}</ref> 1960-61 sezonu başında [[Eyüpspor|Eyüp]]'e transfer oldu ve sezonu bu rakımda geçirdi.<ref>{{gazete kaynağı |başlık=Transferde harcanan para: 3.282.500 |tarih=2 Ağustos 1960 |gazete=Milliyet |sayfalar=6 |erişimtarihi=17 Eylül 2014}}</ref> 5 Temmuz 1961'de, eski takımı Ankaragücü'ne döndü.<ref>{{gazete kaynağı |başlık=Ezelî rakipler gövde gösterisi yapıyor |tarih=6 Temmuz 1961 |gazete=Milliyet |sayfalar=6 |erişimtarihi=26 Mayıs 2013}}</ref> Burada üç sezon geçiren Alkan, 1963-64 sezonunda fazla forma şansı bulamadı ve sezon sonunda [[İzmir]] takımlarından [[Altınordu FK|Altınordu]] ile anlaştı. Buradaki ilk sezonunda takım [[Süper Lig|1. Lig]]'den düşse de, bir sonraki sezon [[1. Lig|2. Lig]] yükselme grubunu ikinci sırada tamamlayarak yeniden 1. Lig'e döndü. Ancak Alkan, 1966-67 sezonu başında 2. Lig ekiplerinden [[Antalyaspor (futbol takımı)|Antalyaspor]]'a transfer oldu. Burada da iki sezon oynamasının ardından, aynı ligdeki [[Giresunspor]] ile anlaştı. Giresunspor'daki ilk sezonunda takımın as kalecisi olarak görev yapsa da, ikinci sezonu olan 1969-70 sezonunda [[Fevzi Serban]]'ın arkasında kaldı.
