Kutup (karmaşık analiz): Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Değişiklik özeti yok |
|||
5. satır:
== Tanım ==
''U'', [[karmaşık düzlem]] '''C''' 'nin açık bir altkümesi olsun. ''a'' noktası ''U'' 'nun bir öğesi olsun ve ''f'' : ''U'' - {''a''} → '''C''' tanım bölgesinde holomorfik bir fonksiyon olsun. ''U'' - {''a''} 'daki her ''z'' noktası için
:<math> f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n} </math>
12. satır:
Yukarıdaki çeşitli denk tariflerden ise şunlar çıkartılabilir:
Eğer ''n'', ''a'' noktasındaki kutbun mertebesiyse, o zaman muhakkak yukarıdaki ifadede yer alan ''g'' fonksiyonu için ''g''(''a'') ≠ 0 'dır. Böylece, ''a'' noktasının etrafındaki açık bir komşulukta holomorfik olan ve ''a'' 'da ''n'' inci mertebeden sıfır olan bir ''h'' fonksiyonu için
:<math>f(z) = \frac{1}{h(z)}</math>
18. satır:
diyebiliriz. Yani, literatür dışında bir dille söylenirse, kutuplar holomorfik fonksiyonların sıfırlarının terslerinde (kesir olarak) olur.
Ayrıca, ''g'' 'nin holomorfik olması yoluyla, ''f'' de
:<math>f(z) = \frac{a_{-n}}{ (z - a)^n } + \cdots + \frac{a_{-1}}{ (z - a) } + \sum_{k \geq 0} a_k (z - a)^k</math>
şeklinde ifade edilebilir. Bu sonlu ''ana kısmı'' olan bir [[Laurent serisi]]dir. ''U'' üzerindeki ∑<sub>''k'' ≥ 0</sub>''a<sub>k</sub>'' (''z - a'')<sup>''k''</sup> holomorfik fonksiyonuna ''f'' 'nin ''düzenli kısmı'' denir. Böylece, ''a'' noktasının ''f'' 'nin ''n'' mertebeli bir kutup noktası olması ancak ve ancak ''f'' 'nin ''a'' noktası etrafındaki Laurent serisi açılımındaki derecesi ''-n'' 'den küçük olan terimler yoksa ve ''-n'' dereceli terim sıfırdan farklıysa mümkündür.
| |||