Reel sayılar: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
düzeltme AWB ile |
|||
7. satır:
eşitlikliğinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra boklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Bu şöyle ispatlanabilir: '''m''', '''n''' iki [[tamsayı]] ('''n''' negatif) olsun. '''m/n''' oranlı sayısı ondalık ifade edilmek istendiğinde, '''m''' 'yi '''n''' 'ye bölerken ([[Bölme Algoritması|bölme algoritmasını]] varsayımı uygularken) ilk adımda kalan 0 ile n arasında olacaktır. Kalanın yanına sıfırlar ekleyip bölmeye devam edilecek ve bir sonraki adımda kalan yine 0 ile n arasında olacaktır. Sonsuz adımda sonlu sayıda değer alabilen kalanlar, bir süre sonra aynı değeri alacak ve kendini tekrar edecektir.
Oranlı sayılardan gerçek sayıları elde etme işlemiyse [[
== İrrasyonel sayıların varlığı ==
[[Düzlem]]de herhangi bir doğru parçası alıp buna da birim (br) uzunluk diyelim. Tamsayılarla bu doğru parçasının katları birebir eşlensin. Alınan bir doğrunun üzerinde bu tamsayı uzunlukları ve olası tüm oranları (oranlı sayılar) işaretlensin. Gösterilebilir ki, herhangi iki oranlı sayı arasında sonsuz çoklukta oranlı sayı vardır. Demek oluyor ki, alınan doğru üzerinde birbirlerine istenildiği kadar yakın ve oranlı sayıları temsil eden iki nokta (oranlı nokta) arasında , sonsuz çoklukta oranlı nokta vardır.
Bu tür noktaların, dolayısıyla uzunlukların varlığını ispatlamak için, kenar uzunluğu 1 birim (br) olan bir karenin köşegen uzunluğunu ('''x''') sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. '''x''' uzunluğu, oranlı bir sayı değildir, yani '''p''' ve '''q''' birer tamsayı olmak üzere '''p/q''' şeklinde gösterilemeyen bir sayıdır; bu sayı <math>\sqrt{2}</math> olarak gösterilecektir.
Kabul edelim ki '''x=p/q''' olsun. Bundan başka, bu kesrin artık kısaltılamayan bir kesir olduğunu farz edelim, yani '''p''' ve '''q''' [[Aralarında Asal|aralarında asal]] olsunlar. Başka bir deyişle, bunların 1'den başka ortak bölenleri bulunmasın. [[Pisagor teoremi]] sayesinde '''x<sup>2</sup>=2=p<sup>2</sup>/q<sup>2</sup>''' elde edilir. Dolayısıyla 2'''q<sup>2</sup>=p<sup>2</sup>''' olur. '''p''' ve '''q''' aralarında asal olduğu için 2, '''p''' 'yi bölmek zorundadır. Böylece eşitliğin sağ tarafı 4'e bölünür. Sol tarafının da dörde bölünmesi gerekeceğinden '''q''' da 2'ye bölünmek zorunda kalır. Hem '''p''' hem de '''q''' sayıları 2'ye bölünebiliyorsa, aralarında asallık kabulüyle çelişkili bir sonuç bulunmuş olur. O halde '''x''' 'in oranlı bir sayı olduğu kabulünden vazgeçmek gerekecektir.
25. satır:
* Tam kare olmayan hiçbir [[Doğal Sayı|doğal sayının]] karekökü oranlı değildir.
* Oranlı sayılar kümesi [[Sayılabilirlik|sayılabilir]] olmasına karşılık gerçel sayılar kümesi sayılamazdır.
* Gerçel sayılar "[[cebirsel sayılar]]ın elemanı olanlar" ve "[[Aşkın Sayılar|aşkın sayılar]]" (transcendental) olarak ikiye ayrılırlar. Gerçel sayılar, cebirsel sayıları kapsamaz, fakat aşkın sayıları kapsar. Cebirsel bir gerçel sayı, tamsayı katsayılı bir [[
== Ayrıca bakınız ==
| |||