Schlegel diyagramı

Geometride, bir Schlegel diyagramı, bir politopun ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$den ${\textstyle \mathbb {R} ^{d-1}}$e, yüzeylerinden birinin hemen dışındaki bir noktadan iz düşümüdür. Ortaya çıkan varlık, orijinal yüzeyle birlikte orijinal politopa kombinatoryal olarak eşdeğer olan x'teki yüzeyin bir politopal alt bölümüdür. Diyagramın adı,1886'da politopların kombinatoryal ve topolojik özellikleri üzerine çalışmak için bu aracı tanıtan Victor Schlegel'den alınmıştır. Üç boyutta, bir Schlegel diyagramı bir çokyüzlünün bir düzlem şekline iz düşümüdür; dört boyutta ise, 4-politopunun 3-uzayına iz düşümüdür. Bu nedenle, Schlegel diyagramları genellikle dört boyutlu politopları görselleştirme aracı olarak kullanılır.

Her yüzdeki kenar sayısına göre renklendirilmiş örnekler. Sarılar üçgen, kırmızılar kare ve yeşiller de beşgen.

Schlegel diyagramı olarak 3-uzaya yansıtılan bir tesseract. Burada görünür 8 kübik hücre var: altı dış yüzün her birinin altında ve merkezde birer tane olmak üzere diğerlerinin içine yansıtılmış bir dış hücre.

Yapısı

Bir çokyüzlünün en temel Schlegel diyagramı, Duncan Sommerville tarafından şu şekilde açıklandı:

Dışbükey bir çokyüzlüyü temsil etmenin çok yararlı bir yöntemi, düzlem iz düşümüdür. Herhangi bir dış noktadan yansıtılırsa, her ışın onu iki kez kestiğinden, iki kez çokgenlere bölünmüş çokgen bir alanla temsil edilecektir. Bir yüzün iz düşümünün diğer tüm yüzlerin iz düşümlerini tamamen içermesini sağlamak, iz düşüm merkezinin uygun seçimiyle her zaman mümkündür. Bu, çokyüzlünün Schlegel diyagramı diye geçer. Schlegel diyagramı bir çokyüzlünün morfolojisini tamamen temsil eder. Çokyüzlüyü bir tepe noktasından yansıtmak bazen uygundur; bu köşe sonsuza yansıtılır ve diyagramda görünmez, içinden geçen kenarlar dışa doğru çizilen çizgilerle temsil edilir.

Sommerville aynı zamanda, bir simpleks durumunu dört boyutta ele alır: "S₄teki simpleksin Schlegel diyagramı dört tetrahedraya bölünmüş bir dörtyüzlüdür." Daha genel olarak, n değerler bir politop, bir yüzeyin merkezinin üzerinde, politopun dışındaki bir noktadan bakılan bir perspektif iz düşümüyle oluşturulmuş bir Schlegel diyagramına sahiptir. Bir politopun bütün kenar ve köşeleri, o fasetin bir hiper düzlemine yansıtılır. Eğer politop dışbükeyse, yüzeyin yakınında, dış yüzü ve diğer tüm yüzeyleri içeride eşleyen bir nokta olacaktır, bu nedenle iz düşümde hiçbir kenarın kesişmesine gerek yoktur.

Örnekler

On iki yüzlü	120-hücre
Yüzeyde 12 beşgen yüz	3 boyutta 120 on iki yüzlü hücreler

Ayrıca bakınız

• Net (çokyüzlü) – Bir politopun boyutunu düşürerek görselleştirme için farklı bir yaklaşım, bir ağ oluşturmak, yönleri ayırmak ve yüzeyler tek bir hiper düzlemde var olana kadar açmaktır. Bu, geometrik ölçeği ve şekli korur, ancak topolojik bağlantıların görülmesini zorlaştırır.

Konuyla ilgili yayınlar

• Victor Schlegel (1883) Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde, Nova Acta, Ksl. Leop.-Carol. Deutsche Akademie der Naturforscher, Band XLIV, Nr. 4, Druck von E. Blochmann & Sohn in Dresden. [1]
• Victor Schlegel (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper, Waren.
• Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948). (p. 242)
  • Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, 0-486-61480-8
• Klee, Victor; Ziegler, Günter M., (Ed.) (2003), Convex polytopes, 2nd, New York & London: Springer-Verlag, ISBN 0-387-00424-6  .

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Schlegel graph". MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. "Skeleton". MathWorld.
• George W. Hart: 4D Polytope Projection Models by 3D Printing 2 Mayıs 2022 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Nrich maths – for the teenager. Also useful for teachers. 17 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.