Prens Rupert'in küpü

Prince Rupert'ın küpü (Ren Prensi Rupert'in adını almıştır), geometride, bir birim küp içine tüm boyunca kesilmiş bir delikten geçebilen en büyük küptür. Yani kenarları 1 birim uzunlukta olan bir küpten, küpü iki parçaya bölmeden geçebilir. Yan uzunluğu, içinden geçtiği birim küpünkinden yaklaşık %6 daha büyüktür. Tamamen bir birim küp içinde yer alan en büyük kareyi bulma sorunu ile çok yakından ilişkilidir ve aynı çözüme sahiptir.

Prens Rupert'ın küpünün geçmesine izin verecek büyüklükte bir delik açılmış bir birim küp.

Ren Prensi Rupert'in ileri sürdüğü orijinal önerme, bir küpün, küpü iki parçaya bölmeden aynı boyuttaki başka bir küpte yapılmış bir delikten geçirilebileceğidir.

Çözüm

Şekilde bir küpün, birim yan uzunluğa sahip ve seçilen boyutlar etiketli bir trimetrik izdüşümü görülmektedir. Yeşil noktalı çizgiler, delikteki (bir birim küpün kesiti olan) bir birim kareyi (mavi kesikli çizgilerle) gösterir.

Bir birim küpün iki bitişik kenarına, her biri iki kenarın birleştiği noktadan 3/4 mesafede iki nokta yerleştirilirse, iki nokta arasındaki mesafe aşağıdaki gibi olur:

${\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1.0606601.$

Bu iki nokta, küpün zıt yüzüne simetrik olarak yerleştirilmiş ikinci bir iki nokta kümesiyle birlikte, tamamen birim küp içinde uzanan bir karenin dört köşesini oluşturur. Kendisine her iki yönde dikme çizilen bu kare, içinden orijinal küpten daha büyük (kenar uzunluğunun ${\tfrac {3{\sqrt {2}}}{4}}$ kadar) bir küpün geçebildiği deliği oluşturur.

Bu deliği boşalttıktan sonra kalan birim küp parçaları, karenin dört köşesine ince köprülerle bağlanan iki üçgen prizma ve iki düzensiz dört yüzlü oluşturur . Her prizmanın altı köşesi, küpün iki bitişik köşesine ve bu küp köşelerinden 1/4 mesafede küpün kenarları boyunca dörder noktaya sahiptir. Her dörtyüzlü, dört köşesi açısından, küpün bir tepe noktasına, iki bitişik kenarda 3/4 mesafede iki noktaya ve üçüncü bitişik kenar boyunca küp tepe noktasından 3/16 mesafede bir noktaya sahiptir.

İçinden bir delik açılmış birim küp. (3 boyutlu model)

Tarihçe

Prens Rupert'ın küpü, Ren Prensi Rupert'in adını almıştır. İngiliz matematikçi John Wallis tarafından 1693'te anlatılan bir hikâyeye göre, Prens Rupert, bir küpün içinden aynı boyutta başka bir küpün geçmesine izin verecek kadar büyük bir deliğin kesilebileceğini iddia etmiştir. Wallis, aslında (çok sonralara kadar düzeltilmeyen bazı hataları var olsa da) böyle bir deliğin mümkün olduğunu gösterdi ve Prens Rupert bahsi kazandı.

Yaklaşık 100 yıl sonra Hollandalı matematikçi Pieter Nieuwland, uzay köşegeninden farklı bir açıya sahip bir delik kullanarak daha iyi bir çözümün (aslında en uygun çözümün) elde edilebileceğini keşfetti. Nieuwland Leiden Üniversitesi'nde profesör olarak göreve başladıktan bir yıl sonra 1794'te öldü. Bulmuş olduğu çözüm, ancak ölümünden sonra 1816'da Nieuwland'ın akıl hocası Jean Henri van Swinden tarafından yayınlanabilmiştir.

O zamandan beri, problem eğlence matematiği üzerine birçok kitapta tekrarlandı, bazı durumlarda Nieuwland'ın optimal çözümü yerine Wallis'in suboptimal çözümü kullanıldı.

Modeller

İç küpün ve dış küpün 1:1 oranına sahip Prince Rupert'ın Küpü'nün üç boyutlu yazıcı ile yazdırılmış hali.

Prince Rupert küpünün fiziksel bir modelinin inşası, böyle bir modelin ölçülmesi gereken doğruluk ve birim küpün kalan kısımları arasındaki bağlantıların (delik içinden geçtikten sonra) inceliğiyle zorlaşmaktadır. Uzunluk 1 birim dış kübe göre 1.06 uzunluğunda maksimum boyutlu iç küp için, bir model oluşturmak "matematiksel olarak mümkün ancak pratik olarak imkansız" olarak adlandırılmıştır.

Örneğin, ilk olarak Prince Rupert tarafından önerilen aynı boyutta iki küpün kullanıldığı bir modelin yapımı mümkündür. 1950 tarihli bir problem araştırmasında DJE Schrek, başka bir küpteki bir delikten geçen bir küp modelinin fotoğraflarını yayınlamıştı. Martin Raynsford, içinden geçen başka bir küp ile bir küpün kâğıt modellerini oluşturmak için bir şablon tasarladı; ancak, kâğıt yapısının toleranslarını hesaba katmak ve delinmiş küpün parçaları arasındaki dar bağlantı noktalarında kâğıdı yırtmamak için Raynsford'un modelindeki delik, yalnızca dış küpten biraz daha küçük olan küplerin geçmesine izin verebilmiştir.

3D baskının ortaya çıkışından bu yana ise, 1:1 oranlı bir Prens Rupert Küpünün yapımı kolay hale geldi.

Genellemeler

• Bir polihedron P, aynı veya daha büyük bir boyut ve P gibi aynı şekilde birçok yüzlü P bir delikten geçebilir Rupert özelliğine sahip olduğu söylenir.
• Beş Platonik cismin tümü: küp, normal tetrahedron, düzgün oktahedron, düzgün dodekahedron ve düzgün ikosahedron Rupert özelliğine sahiptir.
• Tüm 3 boyutlu dışbükey çokyüzlülerin bu özelliğe sahip olduğu varsayılmıştır.
• Ayrıca n 2'den büyük iken, n boyutlu hiperküpler de Rupert özelliğine sahiptir.
• 13 Arşimet cisminden, bu dokuzunun Rupert özelliğine sahip olduğu bilinmektedir: Küpoktahedron, kesik oktahedron, kesik küp, eşkenar dörtgen, ikosidodekahedron, kesik küpoktahedron, kesik ikosahedron, kesik dodekahedron. ve kesik tetrahedron.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Prince Rupert's Cube (MathWorld)