Kesişme teoremi

Bu madde çeşitli doğru parçalarının oranları hakkındaki teorem hakkındadır. Çevre açı teoreminin özel durumu için Thales teoremi (çember) sayfasına bakınız.

Thales teoremi (aynı adı taşıyan başka bir teoremle karıştırılmamalıdır) veya temel orantı teoremi olarak da bilinen kesişme teoremi, kesişen iki çizginin bir çift paralelle kesilmesi durumunda oluşturulan çeşitli çizgi parçalarının oranları hakkındaki temel geometride önemli bir teoremdir. Benzer üçgenlerdeki oranlarla ilgili teoreme eşdeğerdir. Geleneksel olarak Yunan matematikçi Thales'e atfedilir.

Formülasyon

$S$'nin iki çizginin kesişme noktası olduğunu ve $A$, $B$'nin iki paralelle ilk çizginin kesişim noktası olduğunu varsayalım, öyle ki $B$, $S$'den $A$'dan daha uzaktır ve benzer şekilde $C$, $D$ ikinci doğrunun iki paralelle kesişimleridir, öyle ki $D$, $S$'den $C$'den daha uzaktır.

1. İlk satırdaki herhangi iki doğru parçasının oranları, ikinci satırdaki ilgili doğru parçalarının oranlarına eşittir:

$|SA|:|AB|=|SC|:|CD|$,

$|SB|:|AB|=|SD|:|CD|$,

$|SA|:|SB|=|SC|:|SD|$

2. $S$ ile başlayan aynı çizgi üzerindeki iki doğru parçasının oranı, paralellerdeki doğru parçalarının oranına eşittir:

$|SA|:|SB|=|SC|:|SD|=|AC|:|BD|$

3. İlk ifadenin tersi de doğrudur, yani kesişen iki çizgi rastgele iki çizgi tarafından kesilirse ve

$|SA|:|AB|=|SC|:|CD|$

ise kesişen iki çizgi paraleldir. Ancak ikinci ifadenin tersi doğru değildir.

4. $S$'de kesişen ikiden fazla çizgi varsa, paraleldeki iki doğru parçasının oranı, diğer paraleldeki ilgili doğru parçalarının oranına eşittir:

$|AF|:|BE|=|FC|:|ED|$,

$|AF|:|FC|=|BE|:|ED|$

Aşağıdaki ikinci grafikte üç çizgili duruma bir örnek verilmiştir.

İlk kesişim teoremi, çizgilerin bölümlerinin oranlarını gösterir, ikincisi, çizgilerin bölümlerinin oranları ile birlikte paralellerin bölümlerini, son olarak üçüncüsü, paralellerin bölümlerinin oranlarını gösterir.

İlgili kavramlar

Benzerlik ve benzer üçgenler

Kesişme teoremi uygulanabilecek şekilde iki benzer üçgenin düzenlenmesi

Kesişme teoremi, benzerlik ile yakından ilgilidir. Benzer üçgenler kavramına eşdeğerdir, yani benzer üçgenlerin özelliklerini kanıtlamak için kullanılabilir ve benzer üçgenler kesişme teoremini kanıtlamak için kullanılabilir. Özdeş açıları eşleştirerek, her zaman birbirine benzer iki üçgen elde edilebilir, böylece kesişme teoreminin uygulandığı durum elde edilmiş olur. Ayrıca tersine, kesişme teoremi durumu her zaman iki benzer üçgen içerir.

Vektör uzaylarında skaler çarpım

Normlu bir vektör uzayında, skaler çarpım ile ilgili aksiyomlar (özellikle $\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}$ ve $\|\lambda {\vec {a}}\|=|\lambda |\cdot \ \|{\vec {a}}\|$) kesişme teoreminin geçerli olmasını sağlar. Buradan da aşağıdaki sonuca ulaşılır:

${\frac {\|\lambda \cdot {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |$

Uygulamalar

Pergel ve cetvel çizimlerinin cebirsel formülasyonu

Yunan matematiğinde ele alınan üç klasik matematik problemi

Yunanların pergel ve düz kenarlı cetvelle yapılan çizimler açısından ortaya koyduğu temel geometride üç ünlü problem vardır:

1. Daireyi kareyle çevreleme
2. Küpü iki katına çıkarma
3. Açıyı üçe bölme

Üçünün de 19. yüzyılda verilen araçlarla, o dönemde mevcut olan cebirsel yöntemlerle imkansız olduğunun gösterilmesi nihayet 2000 yıldan fazla sürdü.

Bunları cisim genişlemesi kullanarak cebirsel terimlerle yeniden formüle etmek için, cisim işlemlerini pergel ve düz kenarlı cetvelle yapılan çizimlerle eşleştirmek gerekir (Bkz. inşa edilebilir sayı).

Özellikle, verilen iki çizgi parçası için, uzunluğu diğer ikisinin uzunluklarının çarpımına eşit olacak şekilde yeni bir çizgi parçasının oluşturulabileceğinden emin olmak önemlidir. Benzer şekilde, $a$ uzunluğundaki bir doğru parçası için $a^{-1}$ uzunluğunda yeni bir çizgi parçası inşa edilebilmelidir. Kesişme teoremi, her iki durumda da böyle bir yapının mümkün olduğunu göstermek için kullanılabilir.

Bir çarpımın inşası

Bir evrik değerin inşası

Bir çizgi parçasını belirli bir oranda bölme

Rastgele bir doğru parçasını ${\overline {AB}}$ bir $m:n$ oranında bölmek için, A'da ${\overline {AB}}$ ile tek ayak olacak şekilde rastgele bir açı çizin. Diğer bacakta $m+n$ eşit uzaklıkta noktalar oluşturun, ardından çizgiyi son noktadan ve B ve $m$ noktasından paralel bir çizgi çizin. Bu paralel çizgi ${\overline {AB}}$ 'yi istenen oranda böler. Sağdaki grafik bir ${\overline {AB}}$ çizgi parçasının $5:3$ oranında bölümünü göstermektedir.

Ölçme ve tetkik

Keops piramidinin yüksekliği

parçaları ölçmek

$C$ ve $D$'yi hesaplamak

Bazı tarihsel kaynaklara göre, Yunan matematikçi Thales, Keops piramidinin yüksekliğini belirlemek için kesişme teoremini uyguladı. Aşağıdaki açıklama, piramidin yüksekliğini hesaplamak için kesişme teoreminin kullanımını göstermektedir. Ancak, Thales'in kaybolan orijinal çalışmasını anlatmamaktadır.

Thales, piramidin tabanının uzunluğunu ve direğin yüksekliğini ölçtü. Sonra günün aynı saatinde piramidin gölgesinin uzunluğunu ve direğin gölgesinin uzunluğunu ölçtü. Bu şekilde aşağıdaki verileri elde etti:

• direğin yüksekliği (A): 1,63 m
• direğin gölgesi (B): 2 m
• piramit tabanının uzunluğu: 230 m
• piramidin gölgesi: 65 m

Bu verileri kullanarak;

$C=65~{\text{m}}+{\frac {230~{\text{m}}}{2}}=180~{\text{m}}$

olduğunu hesapladı. A, B ve C'yi bilerek, artık piramidin yüksekliğini hesaplamak için kesişim teoremi uygulanabilir.

$D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63~{\text{m}}\cdot 180~{\text{m}}}{2~{\text{m}}}}=146.7~{\text{m}}$

Bir nehrin genişliğini ölçmek

Kesişme teoremi, bir nehrin veya gölün genişliği, yüksek binaların boyunu veya benzeri gibi doğrudan ölçülemeyen bir mesafeyi belirlemek için kullanılabilir. Sağdaki grafik bir nehrin genişliğini ölçmeyi göstermektedir. $|CF|$,$|CA|$,$|FE|$ bölümleri ölçülür ve istenen mesafeyi hesaplamak için kullanılır: $|AB|={\frac {|AC||FE|}{|FC|}}$.

Üçgen ve yamuklarda paralel doğrular

Kesişme teoremi, belirli bir çizimin paralel doğru (bölümleri) sağladığını kanıtlamak için kullanılabilir.

İki üçgen kenarın orta noktaları birleştirilirse, ortaya çıkan doğru parçası üçüncü üçgen tarafına paraleldir (üçgenlerin orta nokta teoremi).

Bir yamuğun paralel olmayan iki kenarının orta noktaları birleştirilirse, ortaya çıkan çizgi parçası yamuğun diğer iki tarafına paraleldir.

Teoremin ispatı

Thales teoreminin kanıtı; 25 nolu antropomorfik Neolitik stel, Sion MÖ 2500, Petit-Chasseur nekropolü (Prof. A. Gallay)

Teoremin temel bir kanıtı, oranlarla ilgili temel ifadeleri türetmek için eşit alanlı üçgenler kullanır (iddia 1). Diğer iddialar daha sonra ilk iddia ve çelişkiyi uygulayarak takip eder.

İddia 1

$CA\parallel BD$ olduğundan, $\triangle CDA$ ve $\triangle CBA$ yüksekliklerinin uzunluğu eşittir. Bu üçgenler aynı temel çizgiyi paylaştıkları için alanları aynıdır. Yani $|\triangle CDA|=|\triangle CBA|$ ve dolayısıyla $|\triangle SCB|=|\triangle SDA|$'dir. Buradan yola çıkarak; ${\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CBA|}}$ ve ${\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SCB|}}$ bulunur. Üçgen alan formülüne girilirse (${\tfrac {{\text{taban}}\cdot {\text{yükseklik}}}{2}}$), aşağıdaki ifadelere dönüşür: ${\frac {|SC||AF|}{|CD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|AB||EC|}}$ ve ${\frac {|SC||AF|}{|SD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|SB||EC|}}$ Ortak çarpanların sadeleştirilmesiyle; (a) $\,{\frac {|SC|}{|CD|}}={\frac {|SA|}{|AB|}}$ ve (b) $\,{\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|SA|}{|SB|}}$ Şimdi $|SA|$ ve $|SC|$ (a)'da yerine yazılırsa: ${\frac {\frac {|SA||SD|}{|SB|}}{|CD|}}={\frac {\frac {|SB||SC|}{|SD|}}{|AB|}}$ (b)'yi tekrar kullanmak, aşağıdakileri sadeleştirir: (c) $\,{\frac {|SD|}{|CD|}}={\frac {|SB|}{|AB|}}$ $\square$

İddia 2

A'dan $SD$ 'ye ilave bir paralel çizin. Bu paralel G'de $BD$ ile kesişiyor. O halde $|AC|=|DG|$ ve iddia 1'den dolayı ${\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|DG|}{|BD|}}$ ve bu nedenle, ${\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}$ $\,\square$

İddia 3

$AC$ ve $BD$'nin paralel olmadığını varsayın. Daha sonra $AC$ ile $D$ arasındaki paralel çizgi $B_{0}\neq B$ içinde $SA$ ile kesişir. $|SB|:|SA|=|SD|:|SC|$ doğru olduğundan, $|SB|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}$ ve diğer yandan iddia 2'den $|SB_{0}|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}$. Yani $B$ ve $B_{0}$, $S$'nin aynı tarafındalar ve $S$ ile aynı mesafeye sahipler, $B=B_{0}$ anlamına gelir. Bu bir çelişkidir, dolayısıyla varsayım doğru olamazdı, yani $AC$ ve $BD$ gerçekten paraleldir $\square$

İddia 4

İddia 4, iki çizgi için kesişme teoremi uygulanarak gösterilebilir.

Kaynakça

• Schupp, H. (1977). Elementargeometrie (Almanca). UTB Schöningh. ss. 124-126. ISBN 3-506-99189-2. 
• Leppig, Manfred (1981). Lernstufen Mathematik (Almanca). Girardet. ss. 157-170. ISBN 3-7736-2005-5. 
• Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. ss. 10-13, 16-18. ISBN 0-8218-4347-8.  (Google Kitaplar'da online copy, s. 10,)
• Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. s. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.  (Google Kitaplar'da online copy, s. 34,)
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012). Geometry by Its History. Springer. ss. 3-7. ISBN 978-3-642-29163-0.  (Google Kitaplar'da online copy, s. 3,)

Dış bağlantılar

• Intercept Theorem 9 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at PlanetMath
• Alexander Bogomolny: Thales' Theorems 18 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. and in particular Thales' Theorem 23 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at Cut-the-Knot
• Teoremle ilgili etkileşimli bir uygulama 10 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.