Geometrik ortalama teoremi

Dik üçgenler hakkında bir teorem

Dik üçgen yükseklik teoremi veya geometrik ortalama teoremi, bir dik üçgendeki hipotenüs üzerindeki yükseklik uzunluğu ile hipotenüs üzerinde oluşturduğu iki doğru parçası arasındaki ilişkiyi tanımlayan temel geometrinin bir sonucudur. İki doğru parçasının geometrik ortalamasının yüksekliğe eşit olduğunu belirtir.

gri karenin alanı = gri dikdörtgenin alanı:

Teorem ve uygulamaları

değiştir
 
 'nun değerini 1 alarak  'nin inşa edilmesi

Eğer  , dik üçgende yüksekliği ve   ile   hipotenüs üzerindeki parçaları gösteriyorsa, teorem şu şekilde ifade edilebilir:[1]

 

veya alan cinsinden ifade edilirse:

 
 
AO-GO eşitsizliği

Sonraki versiyon, bir dikdörtgeni cetvel ve pergel ile kare yapmak için, yani belirli bir dikdörtgene eşit alanlı bir kare oluşturmak için bir yöntem sağlar. Kenarları   ve   olan böyle bir dikdörtgenin, sol üst köşesini   ile gösterelim. Şimdi   parçasını soluna   kadar uzatalım ( 'de ortalanmış   yayını kullanarak) ve çapı yeni parça   ve uç noktaları   ile   olan bir yarım çember çizelim. Sonra  'deki çapa,  'deki yarım çemberi kesen dik bir doğru çizelim. Thales teoremine göre   ve çap,   doğru parçasının yükseklik olduğu bir dik üçgen oluşturur, dolayısıyla   dikdörtgenin alanına eşit alanlı olan bir karenin kenarıdır. Yöntem ayrıca kare köklerin oluşturulmasına da izin verir (İnşa edilebilir sayıya bakın), çünkü 1 genişliğinde bir dikdörtgenden başlayarak inşa edilen karenin, dikdörtgenin diğer kenar uzunluğunun kareköküne eşit bir kenar uzunluğu olacaktır.[1]

Teorem, iki sayı durumunda AO-GO eşitsizliğinin geometrik bir kanıtını sağlamak için kullanılabilir.   ve   sayıları için   çapında yarım çember oluşturulur. Şimdi yükseklik, iki sayının geometrik ortalamasını ve yarıçapı aritmetik ortalamasını temsil eder. Yükseklik her zaman yarıçapa eşit veya daha küçük olduğu için bu eşitsizliği ortaya çıkarır.[2]

 
Kiriş teoreminin özel bir durumu olarak geometrik ortalama teoremi:
 

Geometrik ortalama teoremi, Thales teoreminin tersi, dik üçgenin hipotenüsünün çevrel çemberinin çapı olmasını sağladığından, ayrıca bir çember için kesişen kirişler teoreminin özel bir durumu olarak düşünülebilir.[1]

İfadenin tersi de doğrudur. Yüksekliğin, kendisi tarafından oluşturulan iki doğru parçasının geometrik ortalamasına eşit olduğu herhangi bir üçgen, bir dik üçgendir.

Tarihçe

değiştir

Teorem genellikle, onu Elemanlar VI. kitabında 8. önermenin doğal sonucu olarak ifade eden Öklid'e (y. MÖ 360-280) atfedilir. II. Kitabın 14. önermesinde, Öklid bir dikdörtgenin karesini almak için burada verilen yönteme esasen uyan bir yöntem verir. Bununla birlikte, Öklid, geometrik ortalama teoremine dayanmak yerine, yapının doğruluğu için biraz daha karmaşık bir kanıt sağlar.[1][3]

Benzerliğe dayanarak

değiştir
 
 

Teoremin kanıtı :

  ve   üçgenleri benzerdir, çünkü:

  •   üçgenlerini düşünün, burada   ve  'dir, bu nedenle AA postülatına göre  'dir.
  • Ayrıca,   üçgenleri düşünün, burada   ve  'dir, bu nedenle AA postülatına göre  'dir.

Bu nedenle, her iki üçgen   ve  ,   üçgenine ve kendilerine benzerdir, yani  'dir.

Benzerlik nedeniyle aşağıdaki eşitlik oranlarını elde ederiz ve cebirsel yeniden düzenlenmesi bize teoremi verir:[1]

 

Tersinin kanıtı:

Tersi için   eşitliğini sağlanan bir   üçgenimiz vardır ve  'deki açının dik açı olduğunun gösterilmesi gerekir. Şimdi   yüzünden ayrıca   ifadesine sahibiz.   eşitliği ile birlikte üçgenler   ve   eşit büyüklükte bir açıya ve aynı orana sahip karşılıklı kenar çiftlerine sahiptir. Bu, üçgenlerin benzer olduğu anlamına gelir ve sonuç aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

 

Pisagor teoremine dayanarak

değiştir
 
Pisagor teoremi ile kanıt

Geometrik ortalama teoreminin kurgusunda, Pisagor teoreminin uygulanabileceği üç dik üçgen  ,   ve   vardır:

 ,
  ve
 

İlk 2 iki denklemi taraf tarafa toplamak ve ardından üçüncüyü kullanmak aşağıdaki ifadenin elde edilmesini sağlar:

 .

İkiye bölerek sadeleştirme, sonunda geometrik ortalama teoreminin formülünü verir.[4]

Parçalarına ayırma ve yeniden düzenlemeye dayanarak

değiştir

 

Dik üçgeni   yüksekliği boyunca parçalarına ayırmak, iki farklı şekilde artırılabilen ve   ve   uzunluklarına sahip dikey kenarları olan daha büyük bir dik üçgen olarak düzenlenebilen iki benzer üçgen verir. Bu tür bir düzenleme, bu tamamlamak için   alanına sahip bir kare alan ve   alanına sahip diğer bir dikdörtgen gerektirir. Her iki düzenleme de aynı üçgeni verdiğinden, kare ve dikdörtgenin alanları aynı olmalıdır.

Kesme haritalamaya dayanarak

değiştir

Yüksekliğin karesi,   ve   kenarları ile eşit alanlı bir dikdörtgene, üç kesme haritalama yardımıyla dönüştürülebilir (kesme haritalama alanı korur):

 
Ön görüntü olarak orijinal kareden başlayarak ilişkili sabit çizgileriyle (noktalı) kesme haritalamaları, her paralelkenar, solundaki şeklin kesme haritalamasının görüntüsünü gösterir.

Kaynakça

değiştir
  1. ^ a b c d e Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, 9783834808561, pp. 76-77 (German, Google Kitaplar'da online copy)
  2. ^ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. MAA 2011, 9780883853528, pp. 31–32 (Google Kitaplar'da online copy)
  3. ^ Öklid: Elemanlar, book II – prop. 14, book VI – prop. 8, (online copy 1 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.)
  4. ^ Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementary Geometry. AMS 2008, 9780821843475, p. 25 (Google Kitaplar'da online copy, s. 25,)

Dış bağlantılar

değiştir