Madde dalgası

Madde dalgaları veya de Broglie dalgaları, maddenin dalga-parçacık ikiliğini yansıtan kavramdır. Kuram 1924'te, Louis de Broglie tarafından doktora tezinde önerilmiştir. De Broglie denklemleri dalga boyunun parçacığın momentumuyla ters orantılı olduğunu gösterir ve ayrıca de Broglie dalga boyu diye isimlendirilir. Ayrıca madde dalgalarının tekrarsıklığı, de Broglie tarafından türetildiği gibi, parçacığın toplam enerjisi E'ye – kinetik enerjisinin ve potansiyel enerjisinin toplamı – doğru orantılıdır.

Tarihsel İçerik

19. yüzyılın sonunda, ışığın Maxwell denklemlerinden türetildiği gibi elektromanyetik alanların dalgalarından, maddeninse yerel parçacıklardan oluştuğu düşünülüyordu. Bu ayrım Albert Einstein tarafından, 1905'te yazdığı ışılelektrik etki üzerine makalesinde, ışığın yerelleşmiş cepler, ya da “quanta”lar (şimdi ise fotonlar olarak isimlendirilirler) tarafından emildiği ve yayıldığının önerilmesiyle sarsılmıştır. Bu quantalar $\nu$ ışığın tekrarsıklığı ve h Planck sabiti olmak üzere

$E=h\nu$

enerjiye sahiptir. Modern anlaşmada, bu başlığın kalanında yapıldığı gibi tekrarsıklığı f olarak sembolize edilir. Einstein'ın önerisi Robert Millikan ve Arthur Compton tarafından sonraki yirmi yılda deneysel olarak kanıtlanmıştır. Sonuçta da ışığın hem dalgasal hem maddesel özellikleri olduğu açık hale gelmiştir. De Broglie, 1924'teki doktora tezinde, bu dalga-parçacık ikiliğini tüm parçacıklara genelleştirmeyi amaçlamıştır :“Dalga mekaniklerine dair ilk fikirlerim 1923-24'te oluştuğunda, dalganın eş varlığının ve Einstein tarafından 1905'teki makalesinde önerdiği fotonların parçacık özelliğinin, her parçacık için geçerli, gerçek bir fiziksel sentez yapmak amacı bana yol gösteriyor.”-De Broglie}}

1926'da Erwin Schrödinger olasılık dalgasının nasıl evirileceğine dair bir denklem yayınladı -Maxwell denklemlerinin olasılık dalgası dengi- ve hidrojenin enerji spektrumunu türetmek için kullandı. Aynı yıl Max Born şimdi standartlaşmış olan madde dalgasının büyüklüğünün karesinin bir parçacığın belirli bir yerde bulunma olasılığını verdiği yorumunu yayımladı. Bu yorum De Broglie'nin dalganın yerel bir parçacığın fiziksel hareketine denk geldiği yorumuna zıddı.

De Broglie Formülleri

Nicem Mekaniği

De Broglie formülleri dalga boyunu (λ) momentumla (p), ve tekrarsıklığı (f) parçacığın toplam enerjisiyle (E) ilişkilendirir:

${\begin{aligned}&\lambda =h/p\\&f=E/h\end{aligned}}$

h Planck sabiti olmak üzere. Denklem denk olarak şu şekilde de yazılabilir;

${\begin{aligned}&p=\hbar k\\&E=\hbar \omega \\\end{aligned}}$

şu tanımları kullanmak üzere;

• $\hbar =h/2\pi$ indirgenmiş Planck sabiti (veya Dirac sabiti),
• $k=2\pi /\lambda$ açısal dalga sayısı,
• $\omega =2\pi f$ açısal tekrarsıklığı.

Her ikili de, Planck ve Einstein tarafından önerildiği için ikincilere Planck-Einstein formülü de denir.

Özel Görecelilik

Özel görecelilikten göreli momentum formülünü

$p=\gamma m_{0}v$

kullanarak denklemler şu şekilde yazılabilir:

${\begin{aligned}&\lambda ={\frac {h}{\gamma m_{0}v}}={\frac {h}{m_{0}v}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\end{aligned}}$

Bu formüllerde m₀  parçacığın durgun kütlesi, v parçacığın hızı, γ Lorentz faktörü ve c ışığın boşluktaki hızıdır. De Broglie denklemlerinin çeşitlendirilmesinin detayları için aşağıya bakın. Grup hızı (parçacığın hızına eşit) faz hızıyla (parçacığın tekrarsıklığı ve dalga boyunun çarpımına eşit) karıştırılmamalıdır. Kırılma olmayan ortamlarda eşit olurken, olmayan ortamlarda değildirler.

Grup Hızı

Albert Einstein dalga-parçacık ikiliğini 1905'te ilk defa açıkladı. Louis de Broglie herhangi bir parçacığın bu ikiliği sergilemesi gerektiği hipotezini sundu. Bir parçacığın hızının her zaman karşılık gelen dalganın grup hızına eşit olması gerektiği sonucuna vardı (ancak bugün sorgulanabilir, detaylar için yukarıya bakın). De Broglie eğer ışık için bilinen ikilik denklemleri her parçacık için tutarsa, hipotezinin kanıtlanacağı sonucuna vardı. Bu şu anlama gelir;

$v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}}$

E parçacığın toplam enerjisi, p parçacığın momentumu, ħ indirgenmiş Planck sabiti olmak üzere. Bir serbest göreli-olmayan parçacık için;

${\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m}}\right),\\&={\frac {p}{m}},\\&=v.\end{aligned}}$

m parçacığın kütlesi ve v parçacığın hızı olmak üzere.

Ayrıca özel görelilikten buluruz ki;

${\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\right),\\&={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}},\\&={\frac {p}{m{\sqrt {\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}+1}}}},\\&={\frac {p}{m\gamma }},\\&={\frac {mv\gamma }{m\gamma }},\\&=v.\end{aligned}}$

m parçacığın kütlesi, c ışığın boşluktaki hızı, γ Lorentz faktörü ve v parçacığın dalga davranışından bağımsız şekilde hızı olmak üzere.

Grup hızı faz hızıyla karıştırılmamalıdır.

Hem göreli hem göreli olmayan nicem fiziğinde, bir parçacığın grup hızının dalga fonksiyonunu parçacık hızıyla belirleyebiliriz. Nicem mekaniği bu hipotezi oldukça keskin bir şekilde doğrulamış ve ilişki molekül büyüklüğündeki parçacıklara kadar açık bir şekilde gösterilmiştir.

Faz Hızı

Nicem mekaniğinde, parçacıklar karmaşık fazlı dalgalar gibi davranırlar. De Broglie hipotezinden görürüz ki;

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}={\frac {E/\hbar }{p/\hbar }}={\frac {E}{p}}.$

Enerji ve momentumun göreli formüllerini kullanarak;

$v_{\mathrm {p} }={\frac {E}{p}}={\frac {\gamma mc^{2}}{\gamma mv}}={\frac {c^{2}}{v}}={\frac {c}{\beta }}$

E parçacığın toplam enerjisi, p momentum, γ Lorentz faktörü, c ışık hızı ve β hızın c'nin bir böleni olmak üzere bir denklem elde ederiz. Değişken v parçacığın hızı ya da karşılık gelen madde dalgasının grup hızı olarak seçilebilir. Parçacık hızı kütlesi olan her parçacık için (özel göreceliliğe göre) ışık hızından az olduğundan, olasılık dalgalarının faz hızı her zaman ışık hızını geçer, yani,

$v_{\mathrm {p} }>c,\,$

Ve görebileceğimiz gibi, parçacık hızı göreli aralığa geldiğinde faz hızı c ye yaklaşır. Işık ötesi faz hızı özel göreceliliğe hiçbir bilgi taşımadığından dolayı karşı gelmez.

Dört Vektör

Dört momentum P = (E/c, p) ve dört-dalga vektörü K = (ω/c, k), kullanılarak De Broglie denklemleri sıfır noktasına bağıl olmayan tek bir eşitlik oluşturur:

$\mathbf {P} =\hbar \mathbf {K}$

Deneysel Kanıtlar

Madde dalgalarının oluşumu ilk kez Davisson-Germer elektron deneyleri sırasında deneysel olarak gözlemlenmiş ve de Broglie hipotezi diğer temel parçacıklar için kanıtlanmıştır. Dahası, nötr atomlar ve hatta moleküllerin dalgasallığı gösterilmiştir.

Elektronlar

Bell Labs'de 1927'de, Clinton Davisson ve Lester Germer kristalize nikel hedefi yavaş hızlı elektronlarla bombaladılar. Yansıyan elektron yoğunluğunun açısal bağımlılığı ölçüldü ve Bragg tarafından x-ışınları için öngörülenler aynı kırılma kalıbına sahip olduklarına karar verildi. De Broglie hipotezinin kabulünden önce, kırılmanın sadece dalgalar tarafından sergilenen bir özellik olduğu düşünülüyordu. Dolayısıyla, madde tarafından sergilenen kırılma etkilerinin hepsi maddenin dalgasal özelliklerini gösterdi. De Broglie dalga boyu Bragg şartına eklendiğinde, gözlemlenen kırılma kalıbı tahmin edilmiş, sonuç olarak da de Broglie hipotezi elektronlar için deneysel olarak kanıtlanmış oldu.

Bu nicem mekaniğinin gelişimi için bir dönüm noktası oldu. Fotoelektrik etkinin ışığın parçacık doğasını gösterdiği gibi, Davisson-Germer deneyi maddenin dalga doğasını göstermiş ve dalga-parçacık ikiliği kuramını tamamlamış oldu. Fizikçiler için bu fikir çok önemliydi çünkü bunun anlamı sadece herhangi bir parçacığın dalga özelliği göstermesinden öte, dalga denklemlerinde de Broglie dalga boyunu kullanarak maddenin gösterdiği özelliklerin açıklanabilmesidir.

Nötr Atomlar

Nötr atomların Fresnel kırılması ve aynadan yansıma benzeri yansıma deneyleri de Broglie hipotezinin atomlara uygulanışını kanıtladı. Yani çekim potansiyelini takip eden nicem yansıma, kesişme ve kırılma yapan atomik dalgaların varlığını gösterdi. Lazer soğutmadaki gelişmelerle, nanokelvin sıcaklıklara kadar nötr atomlar soğutuldu. Bu sıcaklıklarda, ısısal de Broglie dalga boyları mikrometre aralığa geldi. Atomlar için Bragg kırılımını ve Ramsey interferometry tekniği kullanılarak, soğuk sodyum atomlarının dalga boyları ölçüldü ve başka bir metotla elde edilen sonuçlarla uyumlu olduğu gözlendi.

Bu etki atomik holografi üretmek için kullanıldı ve nanometre çözünürlükte atom görüntüleme sistemi yapımını sağlayabilir. Bu fenomenin tanımı nötr atomların dalga özellikleri üzerine kuruludur, de Broglie hipotezini doğrular.

Moleküller

Yakın zamanlardaki deneyler moleküller ve makromoleküller gibi nicem mekaniksel etkiler için çok büyük olduğu düşünülen parçacıklar için de formülleri onayladı. 1999 da Viyana'daki bir araştırma ekibi Fullerene büyüklüğündeki moleküller için kırılımı gösterdi. Araştırmacılar en olası C₆₀ de Broglie dalga boyunu 2.5 pm olarak hesapladı. Daha yeni deneyler kütlesi 6910 amu'ya varan moleküllerin nicem doğasını kanıtladı. Genel olarak, de Broglie hipotezinin iyi izole edilmiş herhangi bir parçacığa uygulanabilmesi beklenmektedir.