Carnot teoremi (dikmeler)

Adını Fransız matematikçi Lazare Carnot'dan alan Carnot teoremi, üçgenin (uzatılmış) kenarlarına dik olan üç doğrunun ortak bir kesişme noktası için gerek ve yeter koşulu tanımlar. Teorem ayrıca Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak düşünülebilir.

Üçgenin kenarlarındaki dikmeler için Carnot teoremi:
mavi alan = kırmızı alan

Teoremin açıklaması

değiştir

Kenarları   olan bir   üçgeni için, üçgenin kenarlarına dik olan ve ortak bir   noktasında kesişen üç doğru düşünün. Eğer     kenarları üzerindeki bu üç dikmenin ayak noktaları ise, ardından aşağıdaki denklem geçerli olur:

 

Yukarıdaki ifadenin tersi de doğrudur, yani bir üçgenin üç kenarındaki üç dikmenin ayak noktaları için denklem geçerliyse, o zaman bu dikmeler ortak bir noktada kesişirler. Bu nedenle denklem, gerekli ve yeterli bir koşulu sağlar.

Özel durumlar

değiştir

Eğer   üçgeni   noktasında bir dik açıya sahipse ve kesişme noktası  ,   veya   üzerinde bulunuyorsa, yukarıdaki denklem Pisagor teoremini verir. Örneğin eğer   noktası,   ile çakışırsa bu,  ,  ,  ,  ,   ve   olduğu sonucunu doğurur. Bu nedenle, yukarıdaki denklem   haline yani Pisagor teoremine dönüşür.

Diğer bir sonuç, bir üçgenin dik açıortaylarının ortak bir noktada kesişme özelliğidir. Dikey açı ortaylar söz konusu olduğunda  ,   ve   olur ve bu nedenle yukarıdaki denklem geçerlidir. Bu, üç dikey açıortayın da aynı noktada kesiştiği anlamına gelir.

 
Carnot teoreminin ispatı

Şekilden görülebileceği gibi dik açıortayların ayakları   olarak gösterilsin.

Carnot Teoremi, aşağıdaki ifade doğrulandığında istenen tutarlılığı garanti eder.

 

Öncelikle   ifadesinin ilk kısmını ele alalım:

 
 
 

olduğundan, yukarıdaki ifade,

 

şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde,

 
 

Bu nedenle,   aşağıdaki ifadeye dönüşür:

 

sağ tarafta " " yerine " " yazılması, vb. gibi değişiklerle ve aşağıdaki ifadeden faydalanırsak:

"Noktanın Kuvveti" teoremi,   noktasından geçen bir doğru   ve   noktalarında   çemberi ile karşılaşırsa     ve  'ye değil, yalnızca   ve  'ye bağlı bir değerdir. Bu değer,  'nin  'ye göre kuvveti olarak adlandırılır.

  ifadesinde,   teriminin değeri  'ya göre   noktasının kuvvetidir; ama   değeri de öyledir. Bu nedenle her iki terim iptal edilir. Benzer şekilde,   ( 'nin  'ye göre kuvveti) ve   ( 'nin  'ye göre kuvveti). Tüm terimler birbirini götürür, böylece Carnot Teoremine ulaşılır: şekildeki doğrular tek noktada kesişir.

Kaynakça

değiştir

Dış bağlantılar

değiştir

Konuyla ilgili yayınlar

değiştir
  • Prof. Ion Pătrașcu, The Dual of the Orthopole Theorem, Makale 10 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Oğuzhan Demirel & Emine Soytürk, (2008), The Hyperbolic Carnot Theorem in the Poincare Disc Model of Hyperbolic Geometry, Novi Sad J. Math., Vol. 38, No. 2, ss. 33-39, Makale 10 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.