Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon hiyerarşisi

İstatistik fizikde,BBGKY hiyerarşisi (Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon hiyerarşisi, bazen Bogoliubov hiyerarşisi olarak alınır) çok sayıda etkileşen parçacıkdan oluşan bir sistemin dinamiklerini tanımlayan bir dizi denklemdir. BBGKY hiyerarşisinde S- parçacığı için denklem dağıtım fonksiyonu (olasılık yoğunluk fonksiyonu) (s + 1)-parçacık dağılım işlevi eşitlikli bir denklem zincirini içerir. Bu kuramsal sonuç, Bogoliubov, Born, Green, Kirkwood, ve Yvon'un ardından isimlendirilmiştir.

Formülasyon

N - parçacık sisteminin evrimi kuantum dalgalanması yokluğunda Liouville eşitliğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu$f_{N}=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)$ içinde 6N Boyutlu faz uzayı (parçacık başına 3 boşluk ve 3 momentum koordinatı)nı gösterir.

${\frac {\partial f_{N}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}{\dot {\mathbf {q} }}_{i}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=0.$

Değişkenlerin bir bölümünün tamamlanmasıyla,Liouville denklemi birinci denklemin iki parçacıklı olasılık yoğunluk fonksiyonunun evrimini iki parçacıklı olasılık yoğunluk fonksiyonuyla birleştirdiği, ikinci eşitlik iki parçacıklı olasılık yoğunluk fonksiyonunu üç parçacıklı olasılıkla ilişkilendiren denklem zinciri ile birleştirebilir. Yoğunluk fonksiyonu ve genel olarak s denklemi ile s - parçacık olasılığı yoğunluk fonksiyonu (math)'yı bağlar $f_{s}=f_{s}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{s},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{s},t)$ ile (s + 1) - parçacık olasılığı yoğunluk fonksiyonu:

${\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{s}{\dot {\mathbf {q} }}_{i}{\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{s}\left(-{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{j=1}^{s}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} _{i}}}\int {\frac {\partial \Phi _{i\,s+1}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\cdot f_{s+1}\,d\mathbf {q} _{s+1}d\mathbf {p} _{s+1}.$

Burada $\mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}$ için koordinatlar ve momentum i parçacığı, $\Phi ^{ext}(\mathbf {q} _{i})$ dış alan potansiyeli ve $\Phi _{ij}(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})$ parçacıklar arasındaki etkileşim için çift potansiyellidir. s - parçacık dağılım fonksiyonu için yukarıdaki denklem, Liouville denkleminin değişkenleri üzerindeki entegrasyon ile elde edilir. $\mathbf {q} _{s+1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{s+1}\dots \mathbf {p} _{N}$.

Fiziksel yorumlama ve uygulamalar

Şematik olarak, Liouville denklemi bize $Df_{N}=0$ formunda $N$-parçacık sistem formu zaman evrimini verir.$N$-Parçacık sistem formunda $Df_{N}=0$, Faz uzayında olasılık yoğunluğunun sıkıştırılamaz akışını ifade eder. Daha sonra, indirgenmiş dağılım işlevlerini, başka bir parçacığın serbestlik derecelerini bir araya getirerek aşamalı olarak tanımlar. $f_{s}\sim \int f_{s+1}$.BBGKY hiyerarşisinde bir denklem bize böyle bir $f_{s}$ için zaman evriminin bir Liouville benzeri denklem tarafından verildiğini, ancak N-s bastırılmış parçacıkların kuvvet etkisini temsil eden bir düzeltme terimiyle verildiğini bildirmektedir.

Denklemlerin BBGKY hiyerarşisini çözme sorunu orijinal Liouville denklemini çözmek kadar zordur ancak BBGKY hiyerarşisi için (zincirin denklemlerin sonlu bir sistemine kesilmesini sağlayan) yaklaşımlar kolayca yapılabilir. Bu eşitliklerin değeri, yüksek dağılım fonksiyonlarının $f_{s+2},f_{s+3},\dots$ zaman evrimini etkilemek $f_{s}$ yoluyla örtük olarak $f_{s+1}.$ BBGKY zincirinin kesilmesi klasik türetim için kullanılabilecek birçok kinetik teori uygulaması için ortak bir başlangıç noktasıdır. veya kuantumdur. Özellikle birinci denklemdeki kesme ya da ilk iki eşitlik, klasik ve kuantum Boltzmann denklemlerini türetmek ve Boltzmann denklemlerine birinci dereceden düzeltmeler yapmak için kullanılabilir. Yoğunluk olasılık fonksiyonunun yalnızca partiküller arasındaki göreceli mesafeye veya hidrodinamik rejimin varsayımına bağlı olduğu varsayımı gibi diğer yaklaşımlar BBGKY zincirini çözülebilir hale getirebilir.

Kaynakça

S Parçacık dağılım fonksiyonları 1935 yılında J. Yvon tarafından klasik istatistik mekaniğine dahil edildi. s - parçacık dağılım fonksiyonları için denklemler BBGKY hiyerarşisi için yazılmıştır ve Temmuz 1945'te kaleme alınan ve 1946'da Rusça yayınlanan gazete olan Bogoliubov'un kinetik denklemlerinin türetilmesinde uygulanmıştır. (İngilizce). Kirikwood'un kinetik nakil teorisi kâğıtta incelendi. Ekim 1945'te kaleme alındı ve Mart 1946'da resmi olarak yayınlandı. Born ve Green tarafından yazılan ilk kâğıt sıvıların genel bir kinetik teorisini düşündü ve Şubat 1946'da kaleme aldı ve 31 Aralık 1946'da yayınlandı.