Vikipedi

Geometrik medyan: Revizyonlar arasındaki fark

Etkileşimli olarak geçmişe göz at
[kontrol edilmemiş revizyon][kontrol edilmemiş revizyon]
← Önceki sürümle aradaki farkSonraki sürümle aradaki fark →
İçerik silindi İçerik eklendi
GörselVikimetin
Noyder (mesaj | katkılar)
34.095 değişiklik
Değişiklik özeti yok
Khutuck Bot (mesaj | katkılar)
Botlar
1.111.817 değişiklik
k Bot: Kozmetik değişiklikler
14. satır:
Wesolowsky (1993) provides a survey of the problem. See Fekete, Mitchell, and Beurer (2003) for generalizations of the problem to non-discrete point sets.
-->
== Tanınım ==
 
Geometrik madyan için matematik biçimde tanımlama şöyle yapılır:
24. satır:
Burada ''argmin'' verilen toplamanın hangi argümanlara göre minimumunun bulunduğunu gösterir. Bu halde bütün <math>x_i</math> noktalarina giden [[Euclid-tipi uzaklık]]larının toplamını minimum yapacak bir başlangıç noktası olan <math>y</math> noktasıdır.
 
== Özellikler ==
 
* Tek boyutlu uzayda, geometrik medyan [[medyan]] ile çakışır. Buna neden [[tekdeğişirli]] medyanın da veri noktalarından medyana uzaklıklarının toplamının minimum olmasıdır.
 
* Eğer noktalar ''doğrudaşlık'' (İngilizce:collinearity) özelliğine sahip değillerse, geometrik medyan tanınıma uyan ''yegane'' tek bir noktadır.
 
* Geometrik medyan Euclid tipi (cevirme ve devretme gibi) [benzerlik donusumleri]]ne esit degisme gosterir. Bu demektir ki geometrik medyana uygulanan benzerlik donusumu ile elde edilen sonuc ile once veri serisine ayni donusumu uygulayip sonra donusumlu serilerin geometrik medyani alma sonucuyla aynidir. Bu ozellik geometrik medayanin sadece nokta ciftlerine gore tanimlanmasi nedeninden ve orneklem veri serisinin temsil edildigi ortogonal [[Kartezyen koordinat]] sistemine bagli olmamasindan ortaya cikar. Buna karsilik, bir coklu degsisrli veri dizisi kollanilarak elde edilen coklu-medyan genellikle rotasyon donusumunden etkilenmekte ve koordinat sitemi secimine cok guclu olarak bagli olmaktadir.
 
* Geometrik medyan için [[çöküntü noktası]] 0,5 olarak hesaplanmıştır.<ref>Lopuhaä, H. P.; Rousseeuw, P. J. (1991). "Breakdown points of affine equivariant estimators of multivariate location and covariance matrices". Annals of Statistics 19 (1): 229–248</ref>. Bu demektir ki eğer örneklem veri serisinin yarısı keyfi bir şekilde bozulmuşlarsa, geometrik medyan bu halde bile, bozuk olmayan verilerin ortaya çıkarabileceği merkezsel konum noktasının bir [[güçlü kestirim]]i olacaktır.
 
== Özel haller ==
 
* '''Üç nokta için''': Eğer bir üçgenin herhangi bir açısı 120&deg;°den daha büyük ise, geometrik medyan bu açının başlangıç köşe noktasıdır. Eğer tüm açılar 10&geg;den daha az ise, geometrik medyan üçgenin içinde öyle bir noktadır ki tüm üç çift noktaya 120&deg;°lik bir açı kurulabilirse, bu nokta üç noktaya kurulmuş olan bir üçgenin [[Fermat noktası]] olarak da bilinir.
 
* '''Dört aynı-düzeysel noktalar için''': Eger bir nokta diğer üç noktadan kurulmuş olan bir üçgenin içinde ise bu nokta geometrik medyandır. Aksi halde, noktalar bir konveks dörtgen kurarlar ve geometrik medyan bu dörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Bu nokta dört köşe noktasının [[Radon noktası]] olarak bilinir.
 
== Hesaplama ==
 
Kavram olarak anlaşılması oldukça kolay olan geometrik medyan bulmak için kullanabilcek bir matematik formül daha mevcut değildir. Geometrik medyana benzer olan, ve her örneklem noktasının uzaklık karelerinin toplamını minimum yapan [[sentroid]] veya [[kütle merkezi]] için basit bir formül bulunmaktadır. Ama uzaklık toplamını minimize edecek geometrik medyan için bunun imkânsız oldugu, yani sadece aritmetiksel işlemler ve ''k''inci kökler hesapları kullanılmasını öneren bir matematik formülün bulunmasinin genel olarak mümkün olamayacağı, isbatlanmıştır. <ref>Cockayne,E.J. ve Melzak,Z.A. (1969) "Euclidean constructability in graph minimization problems." ''Mathematics Magazine'' C.42 say.206–208</ref>,<ref>Bajaj,C.(1988) "The algebraic degree of geometric optimization problems" ''Discrete and Computational Geometry'' C.1 say.177-199
</ref>
 
Cebirsel sekilde bir formulun bulunamasina ragmen, sayisal yaklasimlar kullanilarak yinelemeli surecle, her bir yinelemede daha geometrik medyan icin cok uygun yaklasik degerler bulunabilir. Bu tip yordamlarin kullanilmasi temelinde bulunan gercek uzakliklarin toplaminin bir [[konveks fonksiyon]] olamasidir cunku her orneklem veri noktasina uzaklik konveks oldugu icin, konveks fonksiyonlarin toplaminin da konveksdir. Boylece her bir cozum asamasinda uzakliklarin toplamini azaltan bir yordam bir [[yoresel optimum]] noktasina takilip kalmamaktadir.
 
Geometrik medyan bulmak icin kullanilan bir yineleme ile yaklasik cozum bulma islemine '''Weiszfeld'in algoritmasi''' adi verilmektedir.<ref>Weiszfeld,E. (1937) "Sur le point pour lequel la somme des distances de ''n'' points donnes est minimum" , ''Tohoku Math. Journal'' C.43 say.355–386</ref><ref>Kuhn,H.W. (1973), "A note on Fermat's problem" ''Mathematical Programming'' C.4 No.1 say.98–107</ref> ve bu [[yinelemeli tekrar agirliklanmis en kucuk kareler]] yonteminin bir degisik seklidir.
54. satır:
-->
 
Bose ve arkadaslari {2003) bu probleme bir yaklasik optimal cozum degeri bulmak icin daha komplike geometrik optimizasyon yontemlerinin kullanilmasini onermektedirler.
 
 
== Örtük formül ==
 
Eğer ''y'' tüm diğer verilmiş noktalar olan ''x''<sub>''j''</sub> lerden belirgin olarak farkı ise, ''y''nin geometrik medyan olması ancak ve ancak şu ifadeyi tatmin ederse mümkündür:
:<math>0 = \sum_{j=1}^m \frac {x_j - y} {\left \| x_j - y \right \|}.</math>
Bu ise Weiszfeld'in algoritmasının yakın benzeri olan şu ifadeyle aynıdır:
72. satır:
olur.
 
== İçsel kaynaklar ==
 
* [[Merkezsel konum ölçüleri]]
* [[Sentroid]], ''Euclid tipi'' uzaklıkların ''kareleri''nin toplamının minimum değeri bulunur.
 
== Referanslar ==
 
<references/>
 
== Dışsal kaynaklar ==
 
* Chandrasekaran,R. ve Tamir,A. (1989) "Open questions concerning Weiszfeld's algorithm for the Fermat-Weber location problem" ''Mathematical Programming, Series A'' C.44 say.293–295 <!--doi = 10.1007/BF01587094-->
* Fekete,S.P., Mitchell,J.S.B. ve Beurer,K. (2003) ''On the continuous Fermat-Weber problem''
<!--arxiv | archive = cs.CG | id = 0310027-->
 
<!-- [doi = 10.1007/BF01584648]-->
* Weber,Alfred (1909), ''Über den Standort der Industrien, Erster Teil: Reine Theorie des Standortes'' , Mohr: Tübingen
* Wesolowsky,G. (1993) "The Weber problem: History and perspective" ''Location Science'' C.1 say.5–23
* Weiszfeld, E. (1937). "Sur le point pour lequel la somme des distances de n points donnes est minimum". Tohoku Math. Journal 43: 355–386.
<!--Interviki-->▼
 
[[Kategori:Ortalama]]
[[Kategori:Optimizasyon]]
[[Kategori:Yöneylem araştırması]]
 
 
▲<!--Interviki-->
 
[[en:Geometric median]]
"https://tr.wikipedia.org/wiki/Geometrik_medyan" sayfasından alınmıştır