Kovaryans: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmemiş revizyon] | [kontrol edilmemiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Değişiklik özeti yok |
Değişiklik özeti yok |
||
1. satır:
[[Olasılık teorisi]] ve [[istatistik]]te, '''kovaryans'''
==Tanımlama==
Kovaryans, beklenen değerleri <math>E(X)=\mu</math> ve <math>E(Y)=\nu</math> olan ''X'' ve ''Y'' olarak tanımlanmış iki gerçel değerli rastsal değişken arasındaki ilişki tanımlanır:
:<math>\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}((X - \mu) (Y - \nu)), \,</math>
Burada E, beklenen değeri temsil etmektedir. Bu taninim alternatif olarak soyle de yazilabilir:
:<math>\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}(X) \operatorname{E}(Y) \,</math>
Kovaryansı sıfır olan iki rastsal değişkene [[korelasyonsuz]] değişkenler adı verilir.
X ve Y gerçel değerli [[rassal]] değişkenler, c ise bir sabit olmak üzere aşağıdaki ifadeler, kovaryansın tanımından elde edilebilir.▼
Eger X ve Y bağımsızsalar o zaman kovaryansları sıfır olur. Bu bağımsızlık halinde şu tanımsal ifadenin geçerli olmasından elde edilir:
▲1) <math>\operatorname{cov}(X, X) = \operatorname{var}(X)\,</math>
E(X \cdot Y)=E(X) \cdot E(Y)=\mu\nu. \,
Kovaryans tanımı için verilen son ifade göz önne getirilerek ve bunu uygun yere koyarak şu netice elde edilir:
\operatorname{Cov}(X, Y) = \mu \nu - \mu \nu = 0. \,
Fakat bunun aksi doğru değildir. Bazı değişkenler için kovaryans sıfır olmakla beraber, bunlar bağımsız değildirler. Ancak kovaryansın sıfır olması yanında bazı diğer özel koşulların da konulması ile (örneğin [[çokdeğişirli normal dağılım]]ları göstermeleri koşulu) sıfır değerde kovaryans bağımsızlık ifade eder.
: <math>\operatorname{cov}(X,X) = E(x_i,x_j)- E(x_i)E(x_j) = E(x^2_i) -[E(x_i)]^2 = \operatorname{var}(X)\,</math>▼
Kovaryans Cov(X, Y) ölçümünün birimi X çarpı Y sonucunun ölçüm birimidir. Buna karşılık, kovaryans kavramından ortaya çıkarılan, doğrusal bağımlılık ölçüsü olan [[korelasyon]]'un ölçü birimi boyutsuzdur.
▲2) <math>\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X)\,</math>
Kovaryansın hesaplanması küçük parcçalar haline hesaba konulan değerlerle yapılabilir ve bu sürec şu formüle göre yapilabilir:
▲3) <math>\operatorname{cov}(cX, Y) = c\, \operatorname{cov}(X, Y)\,</math>
Bu formül ''kovaryans hesaplama formülu'' olarak da anılır.
==Özellikler==
▲Eğer ''X'', ''Y'', ''W'' ve
: <math>\operatorname{Cov}(X, a) = 0 \,</math>
▲: <math>\operatorname{
: <math>\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Cov}(Y, X)\,</math>
: <math>\operatorname{Cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{Cov}(X, Y)\,</math>
: <math>\operatorname{Cov}(X+a, Y+b) = \operatorname{Cov}(X, Y)\,</math>
: <math>\operatorname{Cov}(aX+bY, cW+dV) = ac\,\operatorname{Cov}(X,W)+ad\,\operatorname{Cov}(X,V)+bc\,\operatorname{Cov}(Y,W)+bd\,\operatorname{Cov}(Y,V)\,</math>
Bir seri değişkenler ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> ve ''Y''<sub>1</sub>, ..., ''Y''<sub>''m''</sub> rastsal değişkenler ise şu ifade ortaya çıkartılabilir:
: <math>\operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^n {X_i}, \sum_{j=1}^m{Y_j}\right) = \sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^m{\operatorname{Cov}\left(X_i, Y_j\right)}}.\,</math>
Bir seri rastsal değişken ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> ve sabitler 'a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> için şu ifade bulunabilir:
:<math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{i,j\,:\,i<j} a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j).</math>
==Çoklu-değişirli vektör-değişkenleri halleri ve kovaryans matrisi==
Eğer X ve Y çoklu-değişirli vektör rastsal değişkenler ise; m-değişirli (yani m-sütunlu) ''X'' vektör-değerli rastsal değişken ile n-değişirli (n-sütunlu) vektör değişken ''Y'' arasındaki [[kovaryans matrisi]] ''X'' matris-bekleme değerleri μ=E(''X'') ve ''Y'' matris bekleme değerleri ν=E(''Y'') ile şöyle tanımlanır:
: <math>\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{E}((X-\mu)(Y-\nu)^{\top}) = \operatorname{E}(X Y^{\top}) - \mu \nu^{\top}\,</math>
Burada "kovaryans matrisi" ''m''-satırlı ve ''n''-sütunlu (''m''×''n'') matrisle ifade edilir ve bu matrisin ''i'' satırı ve ''j'' sütunu şu kovaryansı verir:
Cov(''x''<sub>i</sub>, ''y''<sub>j</sub>)
ve burada 'x''<sub>i</sub> ''X''in ''i'''inci skaler elemanını ve 'y''<sub>j</sub> ''Y'''nin ''j''inci skaler elemanını gösterir. Bu nedenle Cov(''X'', ''Y'') ve Cov(''Y'', ''X'')
matrisleri birbirlerinin [[transpoz]]larıdır.
Bunu [[Hilbert uzayı]]nda inceleyerek daha genelleştirmek mümkündür.
==Ayrıca bakınız ==
* [[Korelasyon]]
* [[Kovaryans fonksiyonu]]
* [[Kovaryans matrisi]]
* [[Toplam kovaryans yasası]]
* [[Otokovaryans]]
* [[Kovaryans analizi]]
* [[Örneklem ortalaması ve örneklem kovaryansı]]
* [[Varyans]]
[[Kategori:Olasılık ve istatistik]]
<!--Interviki-->
[[ar:تغاير]]
| |||