Vikipedi

Moment (matematik): Revizyonlar arasındaki fark

Etkileşimli olarak geçmişe göz at
[kontrol edilmemiş revizyon][kontrol edilmemiş revizyon]
← Önceki sürümle aradaki farkSonraki sürümle aradaki fark →
İçerik silindi İçerik eklendi
GörselVikimetin
Noyder (mesaj | katkılar)
34.095 değişiklik
Noyder (mesaj | katkılar)
34.095 değişiklik
Değişiklik özeti yok
1. satır:
{{Çeviri}}
 
[[Matematik]] bilimi içinde '''moment''' kavramı [[fizik]] bilimi için ortaya çıkartılmış olan [[moment]] kavramından geliştirilmiştir. Bir bir reel değişkenin reel-değerli fonksiyon olan ''f''(''x'')in ''c'' değeri etrafında ''n''inci momenti şöyle ifade edilir:
Satır 24 ⟶ 23:
ilk dört momentin herbirini sırayla artırıp diğerlerini sabit tutarak ortaya çıkan eğriler]]
 
Sıfır etrafindaki birincebirinci moment, eğer anlamlı ise, ''X''in matematiksel beklentisi yani ''μ'' olarak yazilanyazılan ''X''in olasılık dağılımının ortalamasıdır. Daha yüksek dereceler icin merkezsel momentler sıfır etrafında momentlerden daha ilgi çekicidir.
 
Bir rassal değişken olan ''X''in olasılık dağılımının ''n''inci [[merkezsel moment]]i şudur:
Satır 36 ⟶ 35:
==== Normalize edilmiş momentler ====
 
''Normalize edilmisedilmiş'' ''n''inci merkezsel moment veya [[standardize edilmis moment]] ''n''inci merkezsel moment bolu
σ<sup>''n''</sup> olur; yani ''t'' = (''x'' - μ)/σ ifadesinin ''n''inci momentidir. Bu normalize edilmisedilmiş momentler boyutsuz niceliklerdir ve herhangi bir dogrusal iskala degisimindendegişiminden etkilenmeden bir dagilimi temsil edebilirler.
 
===Çarpıklık===
Satır 43 ⟶ 42:
Üçüncü merkezsel moment bir dağılımın simetrik olmaması ölçüsüdür. Herhangi bir simetrik dağılım için üçüncü merkezsel moment, eğer tanımlanabilirse, 0 olur. Normalize edilmiş üçüncü merkezsel moment γ ile yazılıp [[çarpıklık]] adı ile anılır. Sol tarafa çarpıklık gösteren (yani sol kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım ''negatif çarpıklık'' gösterir. Sağ tarafa çarpıklık gösteren (yani sağ kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım ''pozitif çarpıklık'' gösterir.
 
[[Normal dağılım]]dan çok fazla farklı olmayan dağılımlar icin [[medyan]] μ - γσ/6 değerine yaklasikyaklaşık olur ve [[mod]] ise μ - γσ/2 ifadesine yaklaşıktır.
 
===Basıklık===
 
Dördüncü merkezsel moment dağılımın ince ve sivri mi yoksa kalın ve basık mı olduğunun ölçüsüdür ve bu niteliği ayırt etmek için aynı varyansı gösteren bir normal dağılım ile karşılaştırma yapılır. Dördüncü merkezsel moment, bir dörtlü üstelin matematiksel beklentisi olduğu için, eğer tanımı yapılabilirse, (sadece dejenere nokta dağılım hariç) her zaman pozitif değer alır. Bir normal dağılım için dördüncü merkezsel moment 3σ<sup>4</sup> olur.
Dorduncu merkezsel moment dagilimin ince ve sivri mi yoksa kalin ve basik mi oldugunun olcusudur ve bu niteligi ayirt etmek icin ayni varyansi gosteren bir normal dagilim ile karsilastirma yapilir.
Dorduncu merkezsel moment, bir dortlu ustelin matematiksel beklentisi oldugu icin, eger tanimi yapilabilirse, (sadece dejenere nokta dagilim haric) her zaman pozitif deger alir. Bir normal dagilim icin dorduncu merkezsel moment 3σ<sup>4</sup> olur.
[[Basıklık]] olcusuölçüsü olarak kullanilankullanılan ''basıklık fazlalığı'' katsayisikatsayısı κ, normalize edilmisedilmiş dorduncudördüncü merkezsel moment eksi 3 olarak tanimlanirtanımlanır. (Gelecek kisimdakısımda gosterildigigösterildiği gibi, bu olcuölçü dorduncudördüncü [[kümülant]] bolubölü varyans kare olarak da tanimlanirtanımlanır.) BaziBazı otoriteler bu sekildeşekilde normal dagilimidağılımı koordinatlarinkoordinatların orijinine koymak iciniçin kullanilankullanılan ''eksi 3'' terimini tenkit etmektedirler. EgerEğer bir dagilimdağılım aortalamaortalama degerindedeğerinde bir doruk ve iki tarafindatarafında uzun kuyruklarakuyruklar gosterirsegösterirse, dorduncudördüncü moment degerideğeri buyukbüyük olur ve basiklikbasıklık olcusuölçüsü κ pozitifdir; aksi halde dorduncudördüncü moment degerideğeri kucukküçük ve basiklikbasıklık olcusuölçüsü κ negatif olur. BoyleceBöylece sinirlanmissınırlanmiş dagilimlardadağılımlarda basiklikbasıklık dusukturdüşüktür.
 
[[Basıklık]] olcusuölçüsü hichiç sinirsizsınırsız bir sekildeşekilde pozitif olmasiolması mumkundurmümkündür ve κ degerideğeri mutlaka γ<sup>2</sup> - 2; degerinedeğerine esiteşit veya bu degerdendeğerden buyukbüyük olmalidirolmalıdır. κ degerideğeri ile γ<sup>2</sup> - 2; degerideğeri esitligieşitliği ise ancak ve ancak [[Bernoulli dagilimidağılımı]] iciniçin dogrudurdoğrudur. Normal dagilimdandağılımdan cokçok farklifarklı sekilşekil gostermeyengöstermeyen sinirsizsınırsız carpiklikçarpıklık gosterengoösteren dagilimlardağılımlar iciniçin κ degerideğeri γ<sup>2</sup> ile 2γ<sup>2</sup> arasindaarasında bulunur.
 
Bu esitsizlikeşitsizlik terimin isbat etmek iciniçin onceönce suşu terimi ele alalimalalım:
 
:<math>\operatorname{E} ((T^2 - aT)^2)\,</math>
 
Bunda ''T'' = (''X'' - μ)/σ olur. Bu bir karenin matematiksel bekleyisidirbekleyişidir. ''a'' degeri ne olursa olsun bu non-negatiftir ve ayni zamndazamanda ''a'' ifadesinde bir [[kuadratik denklem]] olur. Bu da isbati istenilen ifadedir.
 
==Kümülantlar==
 
Birinci moment ve ikinci ve ucuncuüçüncü ''normalize edilmemisedilmemiş merkezsel'' momentler dogrusaldirlardoğrusaldırlar; yani egereğer ''X'' ve ''Y'' isatistikselistatistiksel olarak bagimsizbağımsız rassal degiskenlersedeğişkenlerse, o halde
 
:<math>\mu_1(X+Y)=\mu_1(X)+\mu_1(Y)\,</math>
Satır 74 ⟶ 72:
:<math>\mu_3(X+Y)=\mu_3(X)+\mu_3(Y).\,</math>
 
esitliklerieşitlikleri gercektirgerçektir. (Bu sartlarşartlar yalnizyalnız bagimsizlikbağımsızlık sartinaşartına degildeğil daha zayifzayıf sartlarşartlar altindaaltında bulunan degiskenlerdeğişkenler iciniçin de gercekgerçek olabilriolabilir.). Birinci sartşart her zaman dogrudoğru olup ikinci sartşart da dogrudoğru olursa bu degiskenlerdeğişkenler arasindaarasında [[korelasyon]] yoktur.
 
Bunun dogrulugunudoğgrulugğunu anlamak iciniçin bu momentlerin ilk ucüç kumulantkümülant olduklarainiolduklarını ve dorduncudördüncü [[kumulantküumuülant]]in ise basiklikbasıklık katsayisikatsayısı κ carpiçarpı σ<sup>4</sup> oldugunuolduğunu anlamak yeterlidir.
 
ButunBuütuün kumulantlarkuümuülantlar momentlerin [[polinom]]laridirlarıdır yani [[faktoriyel moment]lerdir. Merkezsel momentler sifirsıfır etrafindankietrafındanki momentlerin polinomlaridirpolinomlarıdır ve bunun aksi de dogrudurdoğrudur.
 
== Örneklem momentleri ==
 
Bir anakutleanakütle iciniçin momentler bir orneklemörneklem ''k''-inci momenti kullanilarakkullanılarak kestirimi yapilabilirleryapılabilirler. Orneklem ''k''-inci momenti soyleşöyle ifade edilir:
:<math>\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} X^k_i\,\!</math>
ve bu anakutledenanakütleden rasalrassal ornekelem eörneklem ile secilmisseçilmiş ''X''<sub>1</sub>,''X''<sub>2</sub>,..., ''X''<sub>''n''</sub> orneklemörneklem degerlerinedeğerlerine uygulaniruygulanır.
 
Bu bir yansizyansız kestirmdirkestirimdir. CunkuÇünkü herhangi bir ''n'' buyukluktebüyüklükte bir orneklemörneklem iciniçin orneklemörneklem momentinin matematiksel beklenen degerinindeğerinin anakutleanakütle ''k''-inci momentine esiteşit olduguolduğu hemen gosterilebilirgöosterilebilir.
 
==Ayrıca bakınız==
"https://tr.wikipedia.org/wiki/Moment_(matematik)" sayfasından alınmıştır