Vikipedi

Geometrik medyan: Revizyonlar arasındaki fark

Etkileşimli olarak geçmişe göz at
[kontrol edilmemiş revizyon][kontrol edilmemiş revizyon]
← Önceki sürümle aradaki farkSonraki sürümle aradaki fark →
İçerik silindi İçerik eklendi
GörselVikimetin
Noyder (mesaj | katkılar)
34.095 değişiklik
Noyder (mesaj | katkılar)
34.095 değişiklik
Değişiklik özeti yok
1. satır:
{{çeviri}]}
 
[[İstatistik]] bilim dalında '''geometrik medyan''' [[betimsel istatistik]] alanında bir [[merkezsel konum ölçüleri|merkezsel konum ölçüsü]] olarak ve [[çıkarımsal istatistik]] alanında önemli bir [[konum parametre]] [[kestirimicisikestirimici]]si olarak kullanılır. '''Geometrik medyan''' bir [[Euclid-tipi uzay]]da bulunan aralıklı set halindeki örnelemörneklem noktaları, bu noktalar arasındaki uzaklıkların toplamını en küçük (minimum) yapan bir nokta olarak tanımlanır. Tek boyutlu veri serisi içinde veri noktaları arasında uzaklıkları minimum yapma özelligi olan medyanın, çok boyutlu veri uzayında karşıtı olup, bir çokdeğişirli [[merkezsel konum ölçüleri|merkezsel konum ölçüsü]] olur. '''Geometrik medyan''' için kullanılan diğer adlar '''Fermat-Weber noktası''' veya '''1-medyan''' olur.
 
''Geometrik medyan'' [[yöneylem araştırması]], [[sanayi mühendisliği]] alanlarında bulunan ve pratikte çok önemi olan standart üretim ve dağıtım kuruluşu [[konumlanma]] problemi için kullanılan yaklaşımlardan en popüleridir; çünkü ''geometrik medyan'' noktasında konumlanma taşıma maliyetlerini en küçük yapan bir noktadır.
22. satır:
:Geometrik Medyan <math>=\underset{y \in \mathbb{R}^n}{\operatorname{argmin}} \sum_{i=1}^m \left \| x_i-y \right \|</math>
 
Burada ''argmin'' verilen toplamanın hangi argümanlara göre minimumunun bulunduğunu gösterir. Bu halde bütün <math>x_i</math> noktalarina giden [[Euclid-tipi uzaklikuzaklık]]larının toplamını minimum yapacak bir başlangıç noktasinoktası olan <math>y</math> noktasıdır.
 
==Özellikler==
 
*Tek boyutlu uzayda, geometrik medyan [[medyan]] ile çakışır. Buna neden [[tekdeğişirli]] medyanın da veri noktalarından medyana uzaklıklarının toplamının minimum olmasıdır.
*Eğer noktalar ''doğrudaşlık'' (İngilizce:collinearity) özelliğine sahip değillerse, geometrik medyan tanınıma uyan ''yegane'' tek bir noktadır.
<!--
* For the 1-dimensional case, the geometric median coincides with the [[median]]. This is because the [[univariate]] median also minimizes the sum of distances from the points.
* The geometric median is '''unique''' whenever the points are not [[collinear]].
* The geometric median is [[equivariant]] for Euclidean [[Similarity (geometry)|similarity transformations]], including [[translation (geometry)|translation]] and [[rotation (mathematics)|rotation]]. This means that one would get the same result either by transforming the geometric median, or by applying the same transformation to the sample data and finding the geometric median of the transformed data. This property follows from the fact that the geometric median is defined only from pairwise distances, and doesn't depend on the system of orthogonal [[Cartesian coordinates]] by which the sample data is represented. In contrast, the component-wise median for a multivariate data set is not in general rotation invariant, nor is it independent of the choice of coordinates.
* The geometric median has a [[breakdown point]] of 0.5.<ref>Lopuhaä and Rousseeuw (1991).</ref> That is, up to half of the sample data may be arbitrarily corrupted, and the median of the samples will still provide a [[robust estimator]] for the location of the uncorrupted data.
-->
 
*Geometrik medyan için [[çöküntü noktası]] 0,5 olarak hesaplanmıştır.<ref>Lopuhaä, H. P.; Rousseeuw, P. J. (1991). "Breakdown points of affine equivariant estimators of multivariate location and covariance matrices". Annals of Statistics 19 (1): 229–248</ref>. Bu demektir ki eğer örneklem veri serisinin yarısı keyfi bir şekilde bozulmuşlarsa, geometrik medyan bu halde bile, bozuk olmayan verilerin ortaya çıkarabileceği merkezsel konum noktasının bir [[güçlü kestirim]]i olacaktır.
==Özel haller==
<!---
Satır 36 ⟶ 39:
*'''For 4 [[coplanar]] points,''' if a point is inside the triangle formed by the other three points, then the geometric median is that point. Otherwise, the points form a convex [[quadrilateral]] and the geometric median is where the diagonals of the quadrilateral intersect. This is also known as the [[Radon point]] of the four points.
-->
 
==Hesaplama==
<!--▼
Despite being an easy to understand concept, computing the geometric median poses a challenge. The [[centroid]] or [[center of mass]], defined similarly to the geometric median as minimizing the sum of the squares of the distances to each sample, can be found by a simple formula — its coordinates are the averages of the coordinates of the samples — but no such formula is known for the geometric median, and it has been shown that no formula involving only arithmetic operations and ''k''th roots can exist in general.<ref>Cockayne and Melzak (1969); Bajaj (1988).</ref>
 
Kavram olarak anlaşılması oldukça kolay olan geometrik medyan bulmak için kullanabilcek bir matematik formül daha mevcut değildir. Geometrik medyana benzer olan, ve her örneklem noktasının uzaklık karelerinin toplamını minimum yapan [[sentroid]] veya [[kütle merkezi]] için basit bir formül bulunmaktadır. Ama uzaklık toplamını minimize edecek geometrik medyan için bunun imkansız oldugu, yani sadece aritmetiksel işlemler ve ''k''inci kökler hesapları kullanılmasını öneren bir matematik formülün bulunmasinin genel olarak mümkün olamayacağı, isbatlanmıştır. <ref>Cockayne,E.J. ve Melzak,Z.A. (1969) "Euclidean constructability in graph minimization problems." ''Mathematics Magazine'' C.42 say.206–208</ref>,<ref>Bajaj,C.(1988) "The algebraic degree of geometric optimization problems" ''Discrete and Computational Geometry'' C.1 say.177-199
</ref>
 
▲<!---
However, it is straightforward to calculate an approximation to the geometric median using an iterative procedure in which each step produces a more accurate approximation. Procedures of this type can be derived from the fact that the sum of distances is a [[convex function]], since the distance to each sample point is convex and the sum of convex functions remains convex. Therefore, procedures that decrease the sum of distances at each step cannot get trapped in a [[local optimum]].
 
Satır 80 ⟶ 86:
==Dışsal kaynaklar==
 
*Bajaj,C.(1988) "The algebraic degree of geometric optimization problems" ''Discrete and Computational Geometry'' C.1 say.177-199 <!-- doi = 10.1007/BF02187906}} -->
 
*Bose,P., Maheshwari,A ve Morin,P. (2003) "Fast approximations for sums of distances, clustering and the Fermat–Weber problem", ''Computational Geometry: Theory and Applications'' C.24 No.3 say.135-146. {{[http://www.scs.carleton.ca/~jit/publications/papers/bmm01.ps doi= 10.1016/S0925-7721(02)00102-5}}]
 
*Chandrasekaran,R. ve Tamir,A. (1989) "Open questions concerning Weiszfeld's algorithm for the Fermat-Weber location problem" ''Mathematical Programming, Series A'' C.44 say.293–295 <!--doi = 10.1007/BF01587094-->
 
 
*Cockayne,E.J. ve Melzak,Z.A. (1969) "Euclidean constructability in graph minimization problems."
''Mathematics Magazine'' C.42 say.206–208
*Fekete,S.P., Mitchell,J.S.B. ve Beurer,K. (2003) ''On the continuous Fermat-Weber problem''
{{<!--arxiv | archive = cs.CG | id = 0310027}}-->
*Kuhn,H.W. (1973), "A note on Fermat's problem" ''Mathematical Programming'' C.4 No.1 say.98–107
<!-- [doi = 10.1007/BF01584648]-->
 
*Lopuhaä,H.P. ve Rousseeuw,P.J. (1991) "Breakdown points of affine equivariant estimators of multivariate location and covariance matrices", ''Annals of Statistics'' C.19 No.1 say.229–248
[http://links.jstor.org/sici?sici=0090-5364(199103)19%3A1%3C229%3ABPOAEE%3E2.0.CO%3B2-1 doi=10.1214/aos/1176347978]
 
*Weber,Alfred (1909), ''Über den Standort der Industrien, Erster Teil: Reine Theorie des Standortes'' , Mohr: Tübingen
 
*Wesolowsky,G. (1993) "The Weber problem: History and perspective" ''Location Science'' C.1 say.5–23
 
*Weiszfeld,E. (1937) "Sur le point pour lequel la somme des distances de ''n'' points donnes est minimum" , ''Tohoku Math. Journal'' C.43 say.355–386
 
"https://tr.wikipedia.org/wiki/Geometrik_medyan" sayfasından alınmıştır