Ferdinand Georg Frobenius: Revizyonlar arasındaki fark

''G''’nin etkisiz elemanı ile birlikte [[John G. Thompson]]'ın 1959'da gösterdiği gibi [[Nilpotent grubu|nilpotent]] (üstelsıfır) olan bir alt grup oluşturur.<ref>{{Cite journal | doi = 10.1007/BF01162958| title = Normalp-complements for finite groups| journal = Mathematische Zeitschrift| volume = 72| pages = 332–354| year = 1959| last1 = Thompson | first1 = J. G. | s2cid = 120848984}}</ref> Bu teoremin bilinen tüm kanıtları karakterlerden yararlanır. Frobenius, karakterler hakkındaki ilk makalesinde (1896), tüm tekil asal sayılar ''p'' için, (1/2) (''p''³ - ''p'') dereceli <math>PSL(2,p)</math> grubunun karakter tablosunu oluşturdu (Bu grup ''p'' > 3 için basitçe sağlanır). [[Simetrik ve alternatif grupların temsil teorisi]]ne de temel katkılarda bulundu.

 

Frobenius, '''Q''' üzerinden [[Galois grubu|Galois grupları]]nda asal sayıları [[Eşleşme sınıfları|eşlenik sınıfları]]na dönüştürmenin kanonik bir yolunu tanıttı. Özellikle eğer ''K''/'''Q''' sonlu Galois genişlemesi ise, ''K''’de [[Dallanma (matematik)|dallanmayan]] her (pozitif) asal ''p''’ye ve ''K''’de ''p''’nin üzerinde uzanan her bir asal ideal ''P''’ye ''g'' (''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''^''p''&nbsp;(mod&nbsp;''P'') koşulunu sağlayan K'nin tüm ''x'' tam sayıları için benzersiz bir Gal (K/'''Q''') öğesi vardır. ''P''<nowiki/>'nin p'ye göre değiştirilmesi, ''g''’yi bir eşleniğe (ve ''g''<nowiki/>'nin her eşleniği bu şekilde oluşur) dönüştürür, bu nedenle Galois grubundaki g'nin eşlenik sınıfı kanonik olarak ''p'' ile ilişkilidir. Buna, ''p''’nin Frobenius eşlenik sınıfı adı verilir ve eşlenik sınıfının herhangi bir öğesi, ''p''’nin Frobenius öğesi olarak adlandırılır. ''K'' için Galois grubu '''Q''' üzerinden modulo m birimleri olan m'inci [[Siklotomik cisim|siklotomik cismi]] alırsak (ve dolayısıyla abelyen, böylece eşlenik sınıflar elemanı olur), ''p'' için ''m''’yi bölmemek için Galois grubundaki Frobenius sınıfı ''p''&nbsp;mod&nbsp;''m''’dir. Bu bakış açısına göre, Galois gruplarındaki Frobenius eşlenik sınıflarının '''Q'''’ya (veya daha genel olarak herhangi bir sayı cismi üzerindeki Galois gruplarına) dağılımı, Dirichlet'in aritmetik ilerlemelerde asal sayılar hakkındaki klasik sonucunu genelleştirir. '''Q'''’nun sonsuz dereceli genişlemelerinin Galois gruplarının incelenmesi, önemli ölçüde Frobenius elemanlarının bu yapısına dayanır ve bu, bir anlamda ayrıntılı çalışma için erişilebilir olan yoğun bir eleman alt kümesi sağlar.