E sayısı: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Rescuing 2 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0 |
Değişiklik özeti yok |
||
1. satır:
{{diğer anlamı2|Euler}}
{{Küçük harf}}'''''{{mvar|e}}'' sayısı''' veya '''Euler sayısı''', [[matematik]], [[fen|doğal bilimler]] ve [[mühendis]]likte önemli yeri olan sabit bir [[reel sayılar|reel sayı]], [[logaritma|doğal logaritman]]ın tabanı. ''{{mvar|e}}'' sayısı [[Aşkın sayı|aşkın]] bir sayıdır, dolayısıyla [[irrasyonel sayılar|irrasyoneldir]] ve tam değeri sonlu sayıda [[rakam]] kullanılarak yazılamaz. Yaklaşık değeri şöyledir:
:<math>\,e = 2,71828182845904523536..10. </math>
== Tarih ==
''{{mvar|e}}'' sabitine dolaylı olarak ilk değinen [[İskoçya|İskoç]] matematikçi [[John Napier]] olmuştur. Napier, 1618'de [[logaritma]]lar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, ''{{mvar|e}}'' sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır; fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. ''{{mvar|e}}'' sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden [[Jakob Bernoulli]] olmuştur. Bernoulli, ''{{mvar|e}}'' sayısını 1683'te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite ''{{mvar|e}}'' ismini veren ise [[İsviçre]]li matematikçi [[Leonhard Euler]]'dir. Euler ilk olarak 1731'de [[Christian Goldbach]]'a yazdığı bir mektupta bu sabitten "''{{mvar|e}}'' sayısı" diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için ''b'' ve ''c'' harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen isim ''{{mvar|e}}'' olmuştur.
Euler ''{{mvar|e}}'' sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise ''{{mvar|e}}'' sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. ''{{mvar|e}}''<sup>,</sup>nin [[İrrasyonel sayılar|irrasyonel]] bir sayı olduğu Euler tarafından, [[Aşkın sayı|aşkın bir sayı]] olduğu ise [[Fransa|Fransız]] matematikçi [[Charles Hermite]] tarafından kanıtlanmıştır.
== Eşdeğer tanımlar ==
[[Dosya:Hyperbola E.svg|sağ|thumb|Beşinci tanıma göre, 1 < ''x'' < ''{{mvar|e}}'' için ''y = 1/x'' eğrisinin altındaki alan 1'e eşittir.]]
1. ''{{mvar|e}}'' sayısı, aşağıdaki [[diferansiyel denklem]]i sağlayan yegâne pozitif [[reel sayılar|reel sayıd]]ır:
:<math>\frac{d}{dx}e^x = e^x\,.</math>
2. ''{{mvar|e}}'' sayısı, aşağıdaki [[diferansiyel denklem]]i sağlayan yegâne pozitif [[reel sayılar|reel sayıd]]ır:
:<math>\frac{d}{dx}\log_e x = \frac{1}{x}\,.</math>
Buradaki <math>\log_e x</math> ifadesi, ''{{mvar|e}}'' tabanlı [[logaritma]]yı temsil etmektedir.
3. ''{{mvar|e}}'' sayısı, aşağıdaki [[limit]]e eşittir:
:<math>e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \,.</math>
4. ''{{mvar|e}}'' sayısı, aşağıdaki [[seri (matematik)|sonsuz toplama]] eşittir:
:<math>e= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots</math>
Buradaki ''n''! ifadesi, ''n'' [[faktöriyel]]i temsil etmektedir: ''n''! = 1 × 2 × 3 × ... × n.
5. ''{{mvar|e}}'' sayısı, aşağıdaki [[integral]] denklemini sağlayan yegâne pozitif [[reel sayılar|reel sayıd]]ır:
:<math>\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = 1\,.</math>
== Uygulamalar ==
=== Birleşik faiz problemi ===
[[Jakob Bernoulli]],''{{mvar|e}}'' sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir. Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir. Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa,bir sene sonra 2 lirası olacaktır. Diğer yandan bu yıllık faiz %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + ½)² = 2,25 lira olacaktır. Benzer şekilde eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4)<sup>4</sup> = 2,
Faizin işleme süresi kısaldıkça, yıl sonundaki para 2 ve 3 arasında belli bir değere yakınsamaktadır. Yukarıdaki 3 numaralı tanımdan da görüldüğü üzere yakınsanan değer ''{{mvar|e}}'' sayısıdır.
=== Bernoulli denemeleri ===
''{{mvar|e}}'' sayısı [[olasılık|olasılık kuramında]] da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar. Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1/''n'' olan bir oyunu ''n'' kere oynarsa, yaklaşık 1/''{{mvar|e}}'' (%36,787...) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır. ''n'' ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/''{{mvar|e}}''<sup>,</sup>ye o kadar yakın olur.
Kumarcının ''n'' seferde ''k'' kere kazanma olasılığı, [[binom dağılımı]]na göre aşağıdaki değere eşittir:
:<math>\binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-k}.</math>
Buna göre, ''n'' seferde ''k'' = 0 kere kazanma olasılığı, (1 - 1/''n'')<sup>''n''</sup>dir, ve bu ifade, ''n'' büyüdükçe 1/''{{mvar|e}}''<sup>,</sup>ye yaklaşır.
=== Şapka problemi ===
Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan ''n'' tane müşteri düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, ''n'' müşteriden ''hiçbirinin'' kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:
:<math>p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}.</math>
Müşteri sayısı ''n'' büyüdükçe, bu toplam 1/''{{mvar|e}}'' değerine yaklaşacaktır.
== Kaynakça ==
| |||