|
'''Diferansiyel Denklemlerin Tarihi'''
Diferansiyel denklemler konusu ilk olarak [[Isaac Newton]](1642–1727) ve [[Gottfried Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]](1646–1716) tarafında 17 yüzyılda çalışılmaya başlanmıştır. [[Isaac Newton|Newton]], [[İngiltere]]'de büyüyüp,[[Trinity College, Cambridge|Trinity Koleji]] - [[Cambridge Üniversitesi|Cambridge]]'de eğitim almıştır ve 1669'da [[Lucasian Matematik Profesörü|Lucasian]] (tüm profesörlük hizmetlerinin bağlı olduğu ) profesörü olmuştur. Devrim yaratan çalışmaları hesaplamada ve [[mekanik]] problemlerde, 1665 yılında gerçekleşmiştir. [[Matematik]] camiası tarafından kabul görmesine rağmen, [[Isaac Newton|Newton]] eleştiriler hakkında çok hassas olduğundan çalışmalarını 1687'ye kadar basmamıştır.
1687 yılında çok ünlü kitabı [[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica]] basılmıştır. [[Isaac Newton|Newton]] diferansiyel denklemler ile çalışmalarını yürütürken, hesaplamada ve mekanikteki temel gelişmeleri [[Leonhard Euler|Euler]] tarafından sağlandı. [[Isaac Newton|Newton]], 1. mertebeden diferansiyel denklemleri dy/dx=f(x),dy/dx=f(y), ve dy/dx=f(x,y) formunda sınıflandırdı. Sonrasında ise f(x,y) x ve y'nin polinomu olduğunda, serileri kullanarak çözüm yöntemi geliştirdi. [[Isaac Newton|Newton]]’un aktif çalışmaları 1690'ların başlarında son buldu ve daha önce elde etmiş olduğu sonuçların yayınlanması ve düzenlenmesi çalışmalarını gerçekleştirdi.1696'da [[British Mint]]'te tekrar profesör oldu. 1705'de şövalye olarak ilan edildi ve [[Westminster Abbey]]'de gömüldü.
[[Gottfried Leibniz|Leibniz]], 20 yaşında [[Leipzig]]'de [[Altdorf Üniversitesi|Altdorf Üniversitesinde]], filozofi alanında doktora çalışmasını tamamladı. Hayatı boyunca, birkaç alandaki çalışmaları ile meşgul oldu. Öncelikli alanları arasında [[matematik]] vardır. Çünkü 20li yaşlarında bu alanda çalışmalar gerçekleştirmiştir. [[Isaac Newton|Newton]]'dan biraz sonra olmasına rağmen diferansiyel denklemler ile ilgili temel sonuçlara ulaşmıştır. Fakat 1684’te [[Isaac Newton|Newton]]'dan önce basılmıştır. Matematiksel notasyonları kullanma konusunda çok iyidir ve [[türev]] için dy/dx ve [[integral]] sembolünün kullanımları ona aittir. 1691 yılında değişkenlere ayırma yöntemini vermiştir ve homojen denklemleri, değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklemlere indirgemiştir. 1. mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümünü 1694 yılında vermiştir. Hayatını bir elçi gibi yaşamıştır ve Alma kraliyet ailelerine tavsiyelerde bulunmuştur. Bu görevi sayesinde, çok sayıda gezi düzenlemiş ve yazışmalarını diğer matematikçilere taşıyabilmiştir. Özellikle de Bernoulli kardeşlere. Bu işbirliği sayesinde pek çok problem 17 yüzyılda çözülebilmiştir. [[Jakob Bernoulli|Jakob]](1654–1705) ve [[Johann Bernoulli|Johann]](1667–1748) Bernoulli kardeşler diferansiyel denklemlerde yöntemler geliştirip bunların uygulama alanlarını genişletmişlerdir. [[Jakob Bernoulli|Jakob]], 1687'de [[Basel]]'de profesör olmuştur. [[Johann Bernoulli|Johann]], kardeşinin 1705 yılında ölmesinden sonra aynı göreve getirilmiştir. Her iki adamda kavgacı kıskanç ve özellikle de kendi tartışmalarında sıkça karıştırlırlardı. Yine de her ikisi de [[Matematik|matematikte]] ̧cok önemli gelişmelere imza atmışlardır. Hesaplamaların da yardımı ile mekanikte diferansiyel denklem olarak ifade edilen problemler için çözüm yöntemleri geliştirmişlerdir. 1690'da Jacob y′= [a³/(b²y−a³)]½ diferansiyel denklemini çözmüştür ve makalesinde ilk defa [[integral]] terimine yer vermiştir. 1694'te [[Johann Bernoulli|Johann]] dy/dx=y/ax. diferansiyel denkleminin çözümünü elde etmiştir. Geliştirdikleri en önemli problemlerden birisi de brach istochrone problemidir. [[Johann Bernoulli|Johann]]’ın oğlu olan [[Daniel Bernoulli]](1700–1782), daha henüz yeni kurulmuş olan St. Petersburg akademisine göç etti ancak 1733'de [[Basel]]’e botanik ve daha sonra da fizik profesörü olarak geri döndü. Temel ilgil alanları arasında kısmi diferansiyel denklemler ve onun uygulamaları vardı.Örneğin adı, [[akışkanlar mekaniği]]<nowiki/>ndeki diferansiyel denklemlere verilmiştir. Ve ayrıca daha sonra [[Bessel fonksiyonu|Bessel fonksiyonları]] olarak adlanadırılacak olan fonksiyonlar ile çalışmıştır.
18. yüzyılın en önemli matematikçilerinden birisi de [[Johann Bernoulli]]’nin öğrencisi olan ve [[Basel]] yakınlarında yaşayan [[Leonhard Euler]](1707–1783)'dir. 1727'de arkadaşı [[Daniel Bernoulli]]'yi takip ederek St. Petersburg'a girmiştir. 1727–1741 ve 1766–1783 yılları arasında St. Petersburg akademisinde 1741–1766 de Berlin akademisinde çalışmıştır. [[Leonhard Euler|Euler]] bütün zamanın en verimli matematikçilerinden biridir ve tüm çalışmaları toplamda 70 dergiyi geçer. İlgi alanı matematiğin ve uygulamanın tüm alanlarını kapsar. Yaşamının son 17 yılını kör olarak geçirmesine rağmen, ölene kadar çalışmlarını devam ettirmiştir. Özellikle de mekaniği matematikte çok iyi kullanırdı. [[Lagrange mekaniği|Lagrange]], [[Leonhard Euler|Euler]]'in mekanik uygulamaları için ”analizdeki en önemli çalışma hareketin bilimine uygulandı” tabirini kullandı. Diğer çalışmaları ile birlikte 1734–35 de diferansiyel denklemin tamlık koşulunu verdi ve aynı çalışmada integral faktörü teorisini geliştirdi. 1743'de sabit katsayılı, homojen lineer denklemler için genel çözüm kavramını verdi. 1750–51 de aynı teoriyi homojen olmayan denklemler için genişletti. 1750 lerin başlarında, diferansiyel denklemlerin çözümü için kuvvet serisi uygulamalarını geliştirdi. 1768–69 larda nümerik çözüm yöntemleri geliştirdi. [[Joseph-Louis Lagrange]](1736–1813), 19 yaşında Turin'de profesör oldu. 1766'da Berlin akademisinde [[Leonhard Euler|Euler]]'in varisi oldu ve 1787'de Paris Akademisine geçiş yaptı. En önemli çalışması 1788'de basılmış olan Mecaniquean-alytique, [[Isaac Newton|Newton]] mekaniğinin çok kapsamlı ve çok güzel bir konusudur. 1762–65'de , n. mertebeden homojen diferansiyel denkleminin genel çözümünün, n tane lineer bağımsız ̧cözümlerinin lineer kombinasyonu olduğunu gösterdi. 1774–75'de parametrelerin varyasyonu olarak bilinen çalışmayı geliştirdi ve kısmi diferansiyel denklemler ile varyasyonel hesaplamalarda çok temel çalışmaları mevcuttur. [[Pierre-Simon de Laplace]] (1749–1827) çocukluğunu Normandy'de geçirdi. Ancak 1768'de [[Paris]]'e gelerek ve 1773'de [[Académie des sciences|Académie des Sciences]]’ı kazanarak bilimsel çemberde çok önemli gelişmelere imza atmanın başlangıcını yaşadı. [[Astroloji]]’de mekanik alanında çalışmalarda bulunmuştur. Laplace denklemleri matematiksel fiziğin temel denklemlerini oluşturur. Laplace dönüşümlerinin faydası ise sonlara doğru daha iyi anlaşılmıştır.18. yüzyılın sonlarına doğru diferansiyel denklemlerinin çözümü ile ilgili teori geliştirilmiştir. 19. yüzyılda ise daha teorik bir sorunun cevabı irdelenmiştir: varlık ve teklik. Kısmi diferansiyel denklemler çalışılmaya başlanmış ve onların matematiksel fiziğe uygulamaları ele alınmıştır. Bazı diferansiyel denklemlerin analitik anlamda çözümlerine ulaşılamaması nümerik çözüm kavramını getirmiştir. 1900 lü yıllarda nümerik integral geliştirilmiştir. Fakat uygulamaları, elle hespalamaların veya ilkel hesaplama araçlarınının kısıtlılığı ile çok yaygınlaşmamı̧stır. Özellikle son 50 yıl içinde, hesaplama araçlarının ilerlemesi ve uyduya bağlı bilgisayarların varlığı ile uygulama alanları oldukça yaygınlaşmıştır. 20. yüzyıl, diferansiyel denlklemlerin geometrik ve topoloji olarak yeni bir kreasyonudur. Amaç, çözümün geometriksel olarak davranış niteliğini anlamaktır. Daha fazla bilgiye ihtiyaç duyulduğunda, nümerik yöntem ile elde edilen veriler kullanılmıştır. Son birkaç yılda bu iki trend birlikte gelmiştir. Bilgisayarlar, lineer olmayan diferansiyel denklem sistemlerinin çalışılmasına hız katmıştır.
'''Diferansiyel denklemler''', [[Matematik]]te [[fonksiyon]]ların bir veya birden çok değişkene göre [[türev]]leri ile ilişkili [[denklem]]lerdir.
|
