Trigonometri: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmemiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Aranan Kan (mesaj | katkılar) k 88.226.72.56 (mesaj) tarafından yapılan değişiklikler geri alınarak, Diyapazon tarafından değiştirilmiş önceki sürüm geri getirildi. (TW) |
|||
1. satır:
{{Geometri}}
'''Trigonometri''' ([[Yunanca]] ''trigōnon'' "üçgen" + ''metron'' "ölçmek" ), [[üçgen]]lerin [[açı]]ları ile [[kenar]]ları arasındaki bağıntıları konu edinen [[matematik]] dalı. Trigonometri, sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik işlevlerin (fonksiyon) üzerine kurulmuştur ve günümüzde fizik ve mühendislik alanlarında sıkça kullanılmaktadır.
== Tarihi ==
Matematiğin doğrudan doğruya [[astronomi]]den çıkmış bir kolu olan ''trigonometri''nin bazı ögeleri, daha [[Babilliler]] ve [[Eski Mısır]]lılar döneminde biliniyor, Sümerli astronomlar ilk kez bir çemberi 360 eşit parçaya bölerek açı ölçümünü yaptılar. [[Eski Yunan]]lar [[Menelaos]]’un [[küresel geometri]]si aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen [[dörtgen]]den yola çıkarak daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha sonra Araplar, yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; [[tanjant]], [[kotanjant]], [[sekant]], [[kosekant]] kavramlarını geliştirdiler.<sup title="Kaynak belirtilmeli">[''[[Vikipedi:Kaynak gösterme|kaynak belirtilmeli]]'']</sup>.
Batıda [[Nasîrüddin Tûsî]]’den büyük ölçüde yararlanan [[Regiomontanus]]’un [[üçgen]] üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. [[François Viète]] ve [[Simon Stevin]], hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar. [[John Napier]] [[logaritma]]yı işe kattı. [[Isaac Newton]] ve öğrencileri trigonometri işlevlerinin ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da [[Leonhard Euler]], [[birim]] olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı.<sup title="Kaynak belirtilmeli">[''[[Vikipedi:Kaynak gösterme|kaynak belirtilmeli]]'']</sup>.
== Genel bakış ==
{{ana|Trigonometrik fonksiyonlar}}
=== Trigonometrik işlevler ===
[[Dosya:Trigonometrik üçgen.svg|thumb]]
Trigonometrik işlevler bir dik üçgen ya da birim çember üzerinden tanımlanır. Temel olarak üç tane trigonometrik işlev ve bunların çarpma işlemine göre terslerinden oluşan üç tane daha işlev vardır. Yandaki ABC üçgeninde
* '''[[Sinüs]]''' işlevi (sin), karşı kenarın [[hipotenüs]]e oranıdır.
:: <math>\sin A=\frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}}=\frac{a}{\,c\,}\,.</math>
* '''[[Kosinüs]]''' işlevi (cos), komşu kenarın hipotenüse oranıdır.
:: <math>\cos A=\frac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}}=\frac{b}{\,c\,}\,.</math>
* '''[[Tanjant]]''' işlevi (tan), karşı kenarın komşu kenarı oranıdır.
:: <math>\tan A=\frac{\text{karşı}}{\text{komşu}}=\frac{a}{\,b\,}=\frac{\sin A}{\cos A}\,.</math>
Bir de bu işlevlerin çarpmaya göre tersi vardır. kosekant, sekant ve kotanjant:
: <math>
: <math>\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{c}{b} ,</math>
: <math>\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a} .</math>
Bu işlevler geometrinin dolayısıyla fiziğin ve mühendisliğin pek çok alanında kullanılır. [[Sinüs teoremi|Sinüs]] ve [[Kosinüs teoremi|kosinüs teoremleri]] bir üçgenin açıları ve kenarlarını hesaplamakta kullanılır ki herhangi bir çokgen üçgenlerin birleşimi olduğundan çokgenleri incelemede de yararlıdır.
=== Birim çember üzerinden tanımı ===
[[Dosya:Circle-trig6.svg|400px|right|thumb|Birim çember üzerinde bütün işlevler]]
Yukarıda dik üçgen üzerinden yapılan tanım sadece 0-90 derece aralğını kapsar (0-π/2 rrın trigonometrik değerleri birim çember üzerinden hesaplanır. 360 dereceden büyük açılar 360 üzerinden devrettirilerek 0-360 arasındaki '''esas ölçü'''sü bulunur.
Merkezi [[orijin]] ve yarıçapı 1 birim olan çembere ''birim çember'' veya''trigonometrik çember'' denir.
Birim çemberin denklemi x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=1 şeklindedir.
== Bir açının esas ölçüsü ==
* 0°≤x<360° ve k bir tam sayı olmak üzere ölçüsü x+360k olan açıların esas ölçüsü x derecedir.
* 0≤x<2π ve k bir tam sayı olmak üzere, ölçüsü x+2πk olan açıların esas ölçüsü x radyandır.
== Sarma işlevi ==
[[Gerçel sayı]]lar kümesinden birim çember üzerindeki noktalara tanımlanan işleve '''sarma işlevi''' denir.
Sarma işlevini '''s''' ile, birim çemberi de '''C''' ile gösterirsek işlev
: <math>\ s:\mathbb{R}\to C </math>
şeklinde yazılabilir ve <math>\ s(x)=P </math> oldugunda <math>\ s(x+ 2k \pi ) = P </math> olur. Başka bir deyişle, sarma işlevi, gerçel sayılar üzerinde dönemi (periyodu) <math> 2\pi</math> olan bir işlevdir.
==İşlevler arasındaki ilişkiler==
Yukarıdaki tanımlardan görülebileceği gibi, bu işlevler arasında
: <math>{\cos^2\ x} + {\sin^2\ x} = 1</math> ([[Pisagor teoremi]])
:<math>\sec^2 A - \tan^2 A = 1 \ </math>
:<math>\csc^2 A - \cot^2 A = 1 \ </math>
ilişkileri vardır.
== Dik üçgenlerde bazı açıların trigonometrik oranları ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
|
| <math>\ 0</math>
| <math>\ 30 =\pi /6</math>
| <math>\ 45 =\pi /4</math>
| <math>\ 60 =\pi /3 </math>
| <math>\ 90 =\pi /2</math>
| <math>\ 180 =\pi </math>
| <math>\ 270 =(3/2)\pi</math>
|- style="text-align:left"
| <math>\sin\ x </math>
| <math>\ 0 </math>
| <math>\ 1 / 2 </math>
| <math>\sqrt 2 / 2</math>
| <math>\sqrt 3 / 2</math>
| <math>\ 1 </math>
| <math>\ 0 </math>
| <math>\ -1 </math>
|- style="text-align:left"
| <math>\cos\ x </math>
| <math>\ 1</math>
| <math>\sqrt {3} / 2 </math>
| <math>\sqrt {2} / 2</math>
| <math>\ 1/ 2</math>
| <math>\ 0 </math>
| <math>\ -1 </math>
| <math>\ 0 </math>
|- style="text-align:left"
| <math>\tan\ x </math>
| <math>\ 0</math>
| <math>1 / \sqrt {3} </math>
| <math>\ 1 </math>
| <math>\sqrt {3} </math>
| <math>\ \infty </math>
| <math>\ 0 </math>
| <math>\ \infty </math>
|- style="text-align:left"
| <math>\cot \ x </math>
| <math>\ \infty </math>
| <math>\sqrt{3} </math>
| <math>\ 1 </math>
| <math>\ 1 / \sqrt{3} </math>
| <math>\ 0 </math>
| <math>\ \infty </math>
| <math>\ 0 </math>
|}
== Trigonometrinin kullanım alanları ==
Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve çeşitli sanatlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır:
[[jeofizik]], [[kristalografi]], [[ekonomi]] (özellikle de finansal pazarların analizinde), [[elektrik mühendisliği]], inşaat mühendisliği, [[elektronik]], [[jeodezi]], [[makine mühendisliği]], [[meteoroloji]], [[müzik kuramı]], [[sayı kuramı]] (ve dolayısıyla [[kriptografi]]), [[oşinografi]] (okyanus bilimi), [[farmakoloji]] (eczacılık), [[optik]], [[fonetik]], [[olasılık kuramı]], [[psikoloji]], [[sismoloji]]...
Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur. Örneğin [[Pisagor kuramı]]nın isim babası [[Pisagor]] matematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir. Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun dışında [[Fourier serileri]] sayesinde trigonometrik işlevler farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri birçok yararlanılan dallarda kullanım olanağı bulmuştur.
{{trigonometri}}
[[Kategori:Trigonometri| ]]
| |||