İç içe kökler: Revizyonlar arasındaki fark

<u>''Bunun tersi de doğrudur.''</u> Birinci kökün içindeki -b/a nın çarpım durumunda olan köklü ifadeye <math>x</math> denilirse <math>ax^n+bx+c=0</math> elde edilir.

 

'''şeklinde olur işleme devam edilirse <math>\frac{b}{a}[-x^n-\frac{c}{a}]={\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}</math> oldu sağ taraftaki ifade zaten x e eşitti. <math>\frac{b}{a}[-x^n-\frac{c}{a}]=x</math> olur ve ispat tamamlanmış olur.

 

 

Eğer denklem <math>ax^n+bx=0</math> şeklinde ise : Burada c sabit sayısı yoktur.

Tersi için <math>x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}}</math> denkleminin her iki tarafının n dereceden kuvveti yani üssü alınırsa <math>x^n={-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}}</math> devam edilirse <math>-\frac{a}{b}x^n={\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}}</math> bu denklemde ise sağ taraf x e eşitti. <math>{\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}}</math> yerine x yazılırsa <math>-\frac{a}{b}x^n=x</math> olur. Bu denklem düzenlenirse <math>ax^n+bx=0</math> denklemi elde edilir. <math>ax^n+bx=0</math> denkleminde <math>x^n=-\frac{b}{a}x \Rightarrow x^{n-1}=-\frac{b}{a} \Rightarrow x=\sqrt[n-1]{-\frac{b}{a}}</math> Şimdi iç içe köklü ifadelerin içindeki ikinci köklü ifadeye neden x denildiği ispatlandı.

 

Genel '''Sonuç 2 için ikinci yol:''' <math>x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}} </math> ''' '''bu ifadede c=0 alınırsa sonuç 2 : yine elde edilir. Çünkü c=0 olması durumunda''' '''<math>ax^n+bx+c=0 </math> denkleminde artık sabit sayı olmaz.

 

Sıra <math>n^{\frac{1}{wv}}</math> ifadesinde <math>\sqrt[r]{n^{\frac{1}{wv}}}</math> biçimine dönüşür. Buda aynı şekilde <math>\sqrt[r]{n^{\frac{1}{wv}}}=[n^{\frac{1}{wv}}]^{\frac{1}{r}}</math> olur.Aynı özellik uygulanırsa <math>\sqrt[r]{n^{\frac{1}{wv}}}=[n^{\frac{1}{wv}}]^{\frac{1}{r}}=n^{\frac{1}{wvr}}</math> sonucuna ulaşılır. <math>n^{\frac{1}{wvr}}</math> ifadesi <math>\sqrt[\frac{1}{wvr}]{n}</math> formundada yazılabilir.

 

<math>{\color{Red}n^{\frac{1}{wvr}}=\sqrt[r]{\sqrt[v]{\sqrt[w]{n}}}=\sqrt[\frac{1}{wvr}]{n}}</math>

 

<math>a+b+2\sqrt{ab}=x^2</math> ifadesinin her iki tarafının [[karekök|karekökü]] alınırsa <math>\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=x</math> şeklinde olur. <math>\sqrt{a}+\sqrt{b}=x</math> denilmişti. O zaman <math>\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}</math> eşitliği olur.

 

<math>{\color{Fuchsia}\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} }</math>

 

<math>a+b-2\sqrt{ab}=x^2</math> ifadesinin her iki tarafının [[karekök|karekökü]] alınırsa <math>\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=x</math> şeklinde olur. <math>\sqrt{a}-\sqrt{b}=x</math> denilmişti. O zaman <math>\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}</math> eşitliği olur.

 

<math>{\color{Fuchsia}\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} }</math>