Legendre polinomları: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
k düzen |
Değişiklik özeti yok |
||
126. satır:
şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara '''Legendre polinomları''' denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.
== Legendre polinomlarının ek özellikleri ==
Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyleki
:<math>P_n(-x) = (-1)^n P_n(x). \,</math><ref name="arfken">George B. Arfken, Hans J. Weber, ''Mathematical Methods for Physicists'', Elsevier Academic Press, 2005, pg. 753.</ref>
diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla
ölçeklemenin bağımsızlığı,
"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir,ama unutmamalıki
güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomlarının' tanımı
:<math>P_n(1) = 1. \,</math>
son noktada türev ile veriliyor
:<math>P_n'(1) = \frac{n(n+1)}{2}. \, </math>
yukardaki soruda,Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi olarak bilinen Legendre polinomları ile uyumludur
:<math> (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\,</math>
ve
:<math> {x^2-1 \over n} {d \over dx} P_n(x) = xP_n(x) - P_{n-1}(x).</math>
Legendre polinomlarıın integrasyonu için kullanışlıdır;
:<math>(2n+1) P_n(x) = {d \over dx} \left[ P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \right].</math>
Yukardakinden şu görülebilir
:<math>{d \over dx} P_{n+1}(x) = (2n+1) P_n(x) + (2(n-2)+1) P_{n-2}(x) + (2(n-4)+1) P_{n-4}(x) + \ldots</math>
veya eşdeğeri
:<math>{d \over dx} P_{n+1}(x) = {2 P_n(x) \over \| P_n(x) \|^2} + {2 P_{n-2}(x) \over \| P_{n-2}(x) \|^2}+\ldots</math>
burada <math>\| P_n(x) \|</math> −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur
:<math>\| P_n(x) \| = \sqrt{\int _{- 1}^{1}(P_n(x))^2 \,dx} = \sqrt{\frac{2}{2 n + 1}}.</math>
Bonnet’in yineleme formulünden açık gösterim bir endüksiyon ile elde
:<math>P_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}^2 \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k.</math>
[[Askey–Gasper eşitsizliği]]nden Legendre polynomları için okunan
:<math>\sum_{j=0}^n P_j(x)\ge 0\qquad (x\ge -1).</math>
Legendre polinomlarının bir toplamı <math>-1\leq y\leq 1</math> için ve <math>-1\leq x\leq1</math>
için [[Dirac delta fonksiyonu]]ya ilişkilidir
:<math>
\delta(y-x) = \frac12\sum_{\ell=0}^{\infty} (2\ell + 1) P_\ell(y)P_\ell(x)\,.
</math>
[[birim vektörler]]in bir [[ölçek çarpımı]]nın Legendre polinomları [[küresel harmonikler]] ile kullanılan açılımı kullanılabilir
:<math>
P_{\ell}({r}\cdot {r'})=\frac{4\pi}{2\ell + 1}\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}(\theta,\phi)Y_{\ell m}^*(\theta',\phi')\,.
</math>
burada sırasıyla birim vektörler r ve r' [[küresel koordinatlar]] <math>(\theta,\phi)</math> ve <math>(\theta',\phi')</math> var,
Asimptotiklik <math>\ell\rightarrow \infty</math> birimden yoksun eklentiler için
:<math>
P_{\ell}(\cos \theta)
=
J_0(\ell\theta) + \mathcal{O}(\ell^{-1})
=
\frac{2}{\sqrt{2\pi \ell \sin \theta}}\cos\left[\left(\ell + \frac{1}{2}\right)\theta - \frac{\pi}{4}\right]
+ \mathcal{O}(\ell^{-1})
</math>
ve birimden büyük eklentiler için
:<math>
P_{\ell}\left(\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}\right) =
I_0(\ell e) + \mathcal{O}(\ell^{-1})
=
\frac{1}{\sqrt{2\pi \ell e}} \frac{(1+e)^{(\ell+1)/2}}{(1-e)^{\ell/2}}
+ \mathcal{O}(\ell^{-1})\,,
</math>
burada <math>J_0</math> ve <math>I_0</math> [[Bessel fonksiyonları]]dır.
<!--
[[Category:Special hypergeometric functions]]
| |||