Fourier serisi: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
41. satır:
=== Fourier'in 2''π'' ile periyodik olan sin ve cos fonksiyonlarını kullanarak yazılmış formülü ===
:<math>s_N(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^N A_n\cdot \sin(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n), \quad \scriptstyle \text{for integer}\ N\ \ge\ 1.</math>
<math>s_N(x)</math> '''P''' . periyodu ile bir periyodik fonksiyondur.Denkliğin kullanımı''':'''
:<math>\sin(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n) \equiv \sin(\phi_n) \cos(\tfrac{2\pi nx}{P}) + \cos(\phi_n) \sin(\tfrac{2\pi nx}{P})</math>
:<math>\sin(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n) \equiv \text{Re}\left\{\frac{1}{i}\cdot e^{i \left(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n\right)}\right\} = \frac{1}{2i}\cdot e^{i \left(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n\right)} +\left(\frac{1}{2i}\cdot e^{i \left(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n\right)}\right)^*,</math>
[[File:Fourier series and transform.gif|frame|right|Fonksiyon ''s''(''x'') (kırmızı içinde) farklı genliklerin ve harmonik ilişkili frekansların altı sin fonksiyonunun bir toplamıdır. Bu toplam bir Fourier serisidir.Fourier dönüşümü, ''S''(''f'') (mavide), frekans vs genliği göstermektedir ki,burada 6 frekans ve genlik ortaya çıkmaktadır.]]
biz de bu eşdeğer formlarda fonksiyon yazabiliriz''':'''
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|<math>
\begin{align}
s_N(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \left(\overbrace{a_n}^{A_n \sin(\phi_n)} \cos(\tfrac{2\pi nx}{P}) + \overbrace{b_n}^{A_n \cos(\phi_n)} \sin(\tfrac{2\pi nx}{P})\right)\\
&= \sum_{n=-N}^N c_n\cdot e^{i \tfrac{2\pi nx}{P}},
\end{align}
</math>
|}
burada''':'''
:<math>
c_n \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases}
\frac{A_n}{2i} e^{i\phi_n} = \frac{1}{2}(a_n - i b_n) & \text{for } n > 0 \\
\frac{1}{2}a_0 & \text{for }n = 0\\
c_{|n|}^* & \text{for } n < 0.
\end{cases}
</math>
Eğer katsayılar ('''Fourier katsayıları''' olarak bilinir) aşağıdaki gibi hesaplanırsa''':'''<ref>
{{cite book
| last1 = Dorf| first1 = Richard C.
| first2 = Ronald J. | last2 = Tallarida
| title =Pocket Book of Electrical Engineering Formulas
| publisher =CRC Press
| edition =1
| date =1993-07-15
| location =Boca Raton,FL
| pages =171–174
| isbn =0849344735 }}</ref>
:{|
|<math>a_n = \frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} s(x)\cdot \cos(\tfrac{2\pi nx}{P})\ dx</math><br>
<math>b_n = \frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} s(x)\cdot \sin(\tfrac{2\pi nx}{P})\ dx</math>
| <math>c_n = \frac{1}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx,</math>
|}
2''π'' ile periyodik olan ve [−''π'', ''π''] aralığında integrali alınabilen ''ƒ''(''x'') fonksiyonu için,
| |||