Hilbert uzayı: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmemiş revizyon] | [kontrol edilmemiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Değişiklik özeti yok |
Değişiklik özeti yok |
||
2. satır:
{{pp-move-indef}}
[[File:Standing waves on a string.gif|thumb|Bir [[sicim titreşimi]] bir Hilbert uzayında bir nokta olarak modellenebilir.titreşimin içinde bir titreşimli [[overtone]] ayrışması uzayda koordinat eksenleri üzerinde noktanın projeksiyon ile verilir]]
'''Hilbert uzayı''', [[
[[David Hilbert]] adına ithaf edilmiştir.Hilbert uzayı matematiksel bir kavramdır,Öklid uzayı kavramının genelleştirilmesidir.
iki-boyutlu Öklid düzlem ve üç boyutlu uzaydan Bu boyutların herhangi bir sonlu veya sonsuz sayıda uzayları için vektör cebri yöntemlerini uzatır.
12. satır:
Bir Hilbert uzayının bir elemanı benzersiz düzlemde kartezyen koordinat ile benzer şekilde koordinat eksenleri (bir ortonormal taban),bir dizi ile ilgili kendi koordinatları belirtilebilir .
Hilbert uzayı da yararlı toplanabilir-kare olan sonsuz diziler açısından düşünülebilir ki bu eksen sayılabilir sonsuz bir dizi,anlamına gelir. Bir Hilbert uzayında lineer operatörleri aynı şekilde oldukça somut nesnelerdir:tam anlamıyla karşılıklı dik yönlerde farklı faktörler tarafından alan germe dönüşümleri vardır.
==Tanımı ve fotoğrafı==
===Alıştırma örnekleri: Öklid uzayı===
bir Hilbert uzayının en iyi ailevi örneğinden biri üç-boyutlu [[Euclidean vector|vektör]]'lerden oluşan [[Öklid uzayı]]'dır,'''R'''<sup>3</sup> ile ifadesi,ve [[nokta çarpım]] ile donanımıdır,nokta çarpımda iki vektör alınır '''x''' ve '''y''', ve bir gerçel sayı üretilir '''x'''·'''y'''. eğer '''x''' ve '''y''' [[Kartezyen koordinatlar]] içinde gösterilir, ise nokta çarpım
:<math>(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.</math>
nokta çarpım tarafından tanımlanan özellikleri tatmin edicidir:
#Bu '''x''' ve '''y''' içinde simetriktir: '''x''' · '''y''' = '''y''' · '''x'''.
#Bu ilk değişken içinde [[linear function|doğrusal]]'dır : (''a'''''x'''<sub>1</sub> + ''b'''''x'''<sub>2</sub>) · '''y''' = ''a'''''x'''<sub>1</sub> · '''y''' + ''b'''''x'''<sub>2</sub> · '''y''' için herhangi skaler ''a'', ''b'', ve vektörler '''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, ve '''y'''.
#It is [[Definite bilinear form|pozitif tanım]]: bütün vektörler için '''x''', '''x''' · '''x''' ≥ 0, ie eşitlik[[ancak ve ancak]] '''x''' = 0.
vektörlerin çifti bir işlemci olarak,nokta-çarpım gibi,burada uygun üç özellik (gerçel) [[iç-çarpım]] olarak bilinir. Bir [[vektör uzayı]] donanımı ile bu tür bir iççarpım bir (gerçel) [[iç çarpım uzayı]] olarak bilinir. Her sonlu-boyutlu iç-çarpım uzayı yine bir Hilbert uzayıdır.Öklid geometrisi ile bağlantılı nokta çarpımın temel özelliği bu uzunluk her ikisi ile ilişkili olduğu bir vektörün (veya [[norm (mathematics)|norm]])'u,||'''x'''|| ile ifade edilir,ve iki vektör arası '''x''' ve '''y''' θ açısına formül yardımıyla
:<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta.</math>
[[File:Completeness in Hilbert space.png|thumb|right|Tamlık bir parçacık kırık yol boyunca hareket ederse (mavi) bir sonlu toplam mesafe seyahat anlamına gelir, ise [[Well defined|iyi-tanımlanmış]] net yer değiştirme(portakal rengi) parçacık var.]]
[[Çok değişkenli hesabı]] Öklid uzayı [[limit (mathematics)|sınırları]]'nı hesaplayabilme yeteneğine dayanır ve bu sınırlar sonuç için yararlı kriterlere sahip. Bir [[series (mathematics)|matematiksel serisi]]
:<math>\sum_{n=0}^\infty \mathbf{x}_n</math>
'''R'''<sup>3</sup> içinde vektörlerin oluşumu [[absolute convergence|mutlak yakınsak]]'tır, yakınsar uzunlukların sağlanan toplamı olarak bir gerçel sayıların düzgün serisi:<ref>{{harvnb|Marsden|1974|loc=§2.8}}</ref>
:<math>\sum_{k=0}^\infty \|\mathbf{x}_k\| < \infty.</math>
Sadece skalerlerin bir serisi olarak, mutlak olarak yakınsar vektörlerinin bir serisi anlamında,Öklid uzayında da bazı sınır vektör '''L''' 'ye yakınsar.
:<math>\left\|\mathbf{L}-\sum_{k=0}^N\mathbf{x}_k\right\|\to 0\quad\text{as }N\to\infty.</math>
Bu özellik Öklid uzayı ''tamlığını'' ifade etmektedir: mutlak yakınsak bir dizi yalın anlamıyla yakınsar.
===Tanım===
Bir '''Hilbert uzayı''' ''H'' bir [[real number|gerçel]] veya [[complex number|karmaşık]] [[iççarpım uzayı]]'dır buda bir [[tam metrik uzayı]] ile sırasıyla uzunluk fonksiyonu iççarpım tarafından uyarılır.<ref name="General">bu bölüm içindeki matematiksel materyal fonksiyonel analiz üzerine herhangi bir iyi ders kitabında bulunabilir, mesela {{Harvtxt|Dieudonné|1960}}, {{Harvtxt|Hewitt|Stromberg|1965}}, {{Harvtxt|Reed|Simon|1980}} veya {{Harvtxt|Rudin|1980}}.</ref> Denebilirki ''H'' karmaşık bir iç çarpım uzayı anlamına gelir.''H''bir iç çarpımın var olduğu bir kompleks vektör uzayıdır.<math>\langle x,y\rangle</math> elemanlarının her bir çifti için bir karmaşık sayı ilişkilendirerek ''H'' ın Bu, aşağıdaki özellikleri karşılayan ''x'',''y'' :
* Ögelerin bir çiftinin iç-çarpımı takas elemanlarının bir iç-çarpımının [[karmaşık eşleniği]]ne eşittir :
::<math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}.</math>
* İççarpımın [[linear functional|doğrusal]] ilk bileşenin içindedir .<ref>In some conventions, inner products are linear in their second arguments instead.</ref> ''a'' ve ''b'' bütün kompleks sayıları için,
::<math>\langle ax_1+bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle.</math>
*Kendisi ile bir elemanın iç çarpımın [[Definite bilinear form|pozitif tanımı]]'dır:
::<math>\langle x,x\rangle \ge 0</math>
:eşitlik durumunun tam tuttuğu(örtüştüğü) yer ''x'' = 0 sırasındadır.
Aşağıdaki şu iki özellik ikincil bileşen içindeki [[Antilinear map|karşıt-doğrusal]] 1 ve 2'nin bir karmaşık iççarpımıdır,anlamı şudur
:<math>\langle x, ay_1+by_2\rangle = \bar{a}\langle x, y_1\rangle + \bar{b}\langle x, y_2\rangle.</math>
Gerçek bir iç çarpım uzay aynı şekilde tanımlanır,''H'' dışında gerçek bir vektör uzayı ve iç çarpım gerçek değerleri alır.Böyle bir iç bir çarpımı doğrusal olacak:her bileşen içinde doğrusaldır.
Bu [[norm (mathematics)|norm]] gerçel-değerli fonksiyondur
:<math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle},</math>
ve uzunluk ''d'' ve ''x'',''y'' iki nokta arasında in ''H'' içinde tarafından norm açısından tanımlanmıştır
:<math>d(x,y)=\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}.</math>
Burada bir uzunluk fonksiyonunun anlamı (1) şuki ''x'' ve ''y''içinde simetriktir, (2)''x'' ve kendisi arası uzunluk sıfırdır,ve bunun dışında ''x'' ve ''y'' arası uzunluğu pozitif olmalıdır, ve (3) şuki [[üçgen eşitsizliği]]'ne uyar, anlamı şudur: ''xyz'' Diğer iki bacak uzunluklarının toplamından fazla olamaz:
:<math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).</math>
[[File:Triangle inequality in a metric space.svg|300px|merkez]]
Bu son özellik sonuçta daha temel [[Cauchy-Schwarz eşitsizliği]]'nin bir eşdizisidir, öyleki
:<math>|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|</math>
eşitlik ancak ve ancak ''x'' ve ''y'' [[Linear independence|doğrusal bağımlılık]] iledir.
Bu şekilde tanımlanan bir mesafe fonksiyonuna göre, herhangi bir iç çarpım uzayı bir [[metrik uzay]]'dır, ve bazen'''ön-Hilbert uzayı olarak bilinir'''.<ref>{{harvnb|Dieudonné|1960|loc=§6.2}}</ref> Herhangi pre-Hilbert uzayı Buna ek olarak aynı zamanda bir [[complete space|tam]] bir uzay Hilbert uzayıdır. [[Cauchy kriterleri]]nin Bütünlüğü bir formumuz üzerinden ''H'' dizisi içinde ifade edilir.: bir pre-Hilbert uzayı ''H'' tamdır.Eğer her [[Cauchy dizisi]] uzay içindeki bir ögeye [[limit (mathematics)|Bu norm ile ilgili yakınsak]] ise, Bütünlük aşağıdaki eşdeğer durumu ile karakterize edilebilir: Eğer vektörlerin serisi <math>\textstyle{\sum_{k=0}^\infty u_k}</math> [[absolute convergence|mutlak yakınsak]] anlamı
:<math>\sum_{k=0}^\infty\|u_k\| < \infty,</math>
ise ''H''içinde yakınsak seri , Kısmi toplamlar ''H'' unsuru yakınsama anlamındadır.
Tam normlu uzayı olarak, Hilbert uzayı tanımı gereği de [[Banach uzayı]]'dır. Böylece bunlar [[topolojik vektor uzayı]]dır, ki [[topology|topolojik]] gösterim altkümenin [[open set|açıklık]] ve [[closed set|kapalılık]] gibi iyi-tanımlanmıştır.Bir Hilbert uzayının bir kapalı [[doğrusal alt-uzay]]'ının özel bir önemini taşımaktadır.Bu, kısıtlama ile oluşturulan iç çarpım,aynı zamanda tam(tam bir metrik uzayda kapalı bir küme olarak)ve bu nedenle kendi içinde bir Hilbert uzayıdır.
===İkiincil örnek: dizi uzayı===
bütün [[sequence (mathematics)|sonsuz dizi]] [[dizi uzayı]] ''ℓ''<sup>2</sup> oluşturur,bu tür karmaşık sayılar [[series (mathematics)|serisi]]'nin '''z''' = (''z''<sub>''1''</sub>,''z''<sub>2</sub>,...)
:<math>\sum_{n=1}^\infty |z_n|^2</math>
[[convergent series|yakınsak]]. İççarpım olarak ''ℓ''<sup>2</sup> ile tanımlanıyor
:<math>\langle \mathbf{z},\mathbf{w}\rangle = \sum_{n=1}^\infty z_n\overline{w_n},</math>
Cauchy–Schwarz eşitsizliğinin bir eşdizisi olarak yakınsak ikinci serisi ile .
Uzay tamlığı sağlanan durum o zaman ''ℓ''<sup>2</sup> 'nin öğeleri bir dizi mutlak yakınsak (norm içinde), ise ''ℓ''<sup>2</sup>'nin bir ögeye yakınsamasıdır . Kanıtı [[matematiksel analiz]] içinde temeldir, ve Uzay elemanlarının matematiksel serisi sağlar karmaşık sayılar serisi ile aynı kolaylıkla işletilen olmaktadır(sonlu-boyutlu Öklid uzayında veya vektörleri).<ref>{{harvnb|Dieudonné|1960}}</ref>
{{fizik-taslak}}
| |||